2022. június 10., péntek, 11 óra
Probability equivalent level of Value at Risk and higher-order Expected ShortfallsThe Basel Accords require banks to set aside capital in line with their levels of risk. Currently, Value-at-Risk (VaR) is the applied risk measure of the potential loss in the value of a portfolio. In particular, 99% VaR is utilized, which is the loss that is likely to be exceeded only 1% of the time. While VaR is widely used and easy to compute, it has no information on the magnitude of the biggest 1% of losses. Moreover, it is not a coherent risk measure. Indeed, it is not subadditive, which means that VaR of a portfolio can be higher than the sum of the VaRs of the individual assets in the portfolio. The Fundamental Review of the Trading Book is expected to make a complete revision of the approach to calculating risk-based capital requirements for investments. The 99% VaR is supposed to be replaced by 97.5% Expected Shortfall, which is the average of VaR\((x)\) for \(x\) between 0.975 and 1. Li and Wang [2] studied the effect of this proposed change. Similarly to their work, we are examining higher-order Expected Shortfalls as potential alternative risk measures. The \(n\)-th-order Expected Shortfall is similar to the classical one (which is a special case for \(n=1\)), the difference is that instead of a simple average, it is a weighted average of the VaR values, weighted by a function that depends on \(n\). We define PELVE\((n)\), which basically tells us what level \(n\)-th-order Expected Shortfall corresponds to a certain level VaR. We investigate its properties and calculate PELVE\((2)\) for some important distributions including ones with heavy tail. Moreover, for PELVE\((2)\), we present some simulation results along with real data analysis.
[1] Barczy, M., K. Nedényi, F. and Sütő, L. (2022). Probability equivalent level of Value at Risk and higher-order Expected Shortfalls. ArXiv: 2202.09770
[2] Li, H. and Wang, R. (2019). PELVE: Probability Equivalent Level of VaR and ES. To appear in Journal of Econometrics. Available also at SSRN. 30(2) 325-341.
2022. május 27., péntek, 10 óra
Evolutionary stability of self-sacrificing life history strategy in monogamous sexual populationsThis talk presents the results of [1]. A genotype is called an evolutionarily stable genotype (ESG) if the rare mutant cannot invade into the monomorphic resident population. We investigate necessary and sufficient conditions for an ESG in a general population genetics model. Then we apply our general ESG conditions for self-sacrificing life history strategy when the number of new-born offspring does not depend on interactions within the family and the interactions are additive. We consider three types of interactions: parental investment, sib altruism, and offspring gratitude. Both the dominant and the recessive case is studied.
[1] Garay, J., Garay, B.M., Varga, Z. et al. To save or not to save your family member’s life? Evolutionary stability of self-sacrificing life history strategy in monogamous sexual populations. BMC Evol Biol 19, 147 (2019). doi:10.1186/s12862-019-1478-0
2022. május 13., péntek, 10 óra
Szintelérésen alapuló stratégiák a pénzügyi matematikábanTo profit from price oscillations, investors frequently use threshold-type strategies where changes in the portfolio position are triggered by some indicators reaching prescribed levels.
In this paper we investigate threshold-type strategies in the context of ergodic control. We make the first steps towards their optimization by proving ergodic properties of related functionals. Assuming Markovian price increments satisfying a minorization condition and (one-sided) boundedness we show, in particular, that for given thresholds, the distribution of the gains converges in the long run.
2022. április 29., péntek, 10 óra, (online)
Gauss-mezők várható értékének becslésérőlElőször a különböző várható értékű Gauss-funkcionáloknak megfelelő mértékek ekvivalenciájáról és ortogonalitásáról beszélek. Külön kitérek a konstans várható érték esetére.
Néhány jól ismert példa bemutatása után a frakcionális Brown-mozgás várható értékének (konstans illetve lineáris trend esetében) maximum-likelihood becsléséről mondok néhány szót.
Végül a forward kamatlábak modellezésében használt Kennedy-típusú mezők paraméterbecsléseit ismertetem (ez utóbbi Tóth-Lakits Dalmávak közös munka).
2022. február 25., péntek, 10 óra (online)
LAD-SLASSO for Shrinkage Estimation and Variable SelectionThe linear regression model predicts the response variable (\(y\)) as a linear function (combination) of one or more predictors. The least-squares method assumed that the response variable follows a normal distribution. However, this method is sensitive to outliers or heavy-tailed distributions, while the Least absolute deviation (LAD) estimator provides more robust estimates. A popular choice for shrinkage estimation and variable selection is the Least absolute shrinkage and selection operator (LASSO). The Scaled-LASSO (SLASSO) was proposed by pre-multiplying LASSO with a matrix term. The estimator dominates LASSO for shrinkage estimation but does not perform variable selection. Thus, in this study, the LAD estimator is combined with the SLASSO to develop a robust penalized variable selection (LAD-SLASSO). We examined the efficiency of the proposed method extensively through simulation studies and real-life applications. The estimated results revealed that the LAD-SLASSO and LAD-LASSO significantly reduce the test mean squared error compared with some existing methods.
2022. január 21., péntek, 10 óra
A frakcionális Ornstein-Uhlenbeck folyamat paraméterbecslése gépi tanulásos eljárássalEgyes pénzügyi eszközök árai között időben sztochasztikusan változó korreláció figyelhető meg, amelyről statisztikai elemzésekből kiderül, hogy érdes trajektóriákkal rendelkező sztochasztikus folyamat. Ennek modellezésére egy transzformált frakcionális Ornstein-Uhlenbeck folyamat alkalmas választásnak bizonyult. Azonban a szakirodalomban az utóbbi paramétereire fellelhető becslések bizonyos, egyelőre nem jól behatárolt tartományokban gyengén teljesítenek, és számításigényük is nagy. Ezért érdemes alternatív lehetőségekhez nyúlni. Napjainkban a pénzügyi matematikában nem csak a modellek pontos becslése számít, hanem a gyorsaság is egyre jobban kiemelt tényező, ezért tűnik jó választásnak a gépi tanulásos eljárások alkalmazása.
A kutatás célja, hogy különböző hálók alkalmazásával kapjunk egy alternatív megoldást az fOU paramétéreinek becslésére, ami adott esetben pontosabb és gyorsabb eredményt ad, mint a meglévő megoldások.
2021. december 3., péntek, 10 óra
Modeling negative ratesThe economic world today is rather different from what we have seen before in history. Negative nominal interest rates for long-term maturities spread over large parts of the world. The presentation would cover the extensions of the most popular models used in the industry, for example the extensions of the SABR model, the SABR-LMM, and a mix between the Gaussian affine and the Black model. The aim of our further research is to create a negative interest rate model using random fields, and to calibrate these negative term structure models using artificial intelligence.
2021. november 12., péntek, 10 óra
Some Classical Results in Number Theory: A Probabilistic PerspectiveWe will demonstrate the power of the classical probabilistic methods proving some old and well known theorems in number theory. We will consider an elementary problem of Erdős, the Hardy-Ramanujan theorem and the Erdős-Kac theorem.
2021. november 5., péntek, 10 óra
Szemimartingál-függvények: karakterizáció, példák, alkalmazásokEgy \(F\) valós függvényt szemimartingál-függvénynek nevezünk az \(X\) szemimartingálra nézve, ha az \(F(X)\) folyamat is szemimartingál.
Sikerült elemi bizonyítást adni arra, hogy a Brown-mozgás esetén a szemimartingál-függvények éppen azok a függvények, amelyek előállnak két konvex függvény különbségeként. Tetszőleges folytonos szemimartingál esetén a Brown-mozgás esetén alkalmazott technika segítségével sikerült belátni, hogy ha egy F függvény szemimartingál-függvény, akkor bizonyos pontok környezetében igaz marad ez. Ezen eredmények kiterjesztik a (Cinlar, Jacod, Protter, & Sharpe, 1980) cikkben szereplő eredményeket a Markov-folyamatokról a szemimartingálok esetére.
A szemimartingál-függvényekre vonatkozó eredmények egyik lehetséges általánosítása, ha determinisztikus valós függvények helyett olyan véletlen függvényeket tekintünk, melyek függetlenek az eredeti folyamattól. Ekkor az derül ki, hogy a véletlen függvény tipikus realizációja olyan, hogy teljesíti a determinisztikus eset követelményeit. Ezen általánosítás segítségével sikerült belátni, hogy a (Prokaj, Rásonyi, & Schachermayer, 2011) cikkben szereplő medián folyamat nem szemimartingál. Ez a folyamat a (Hu & Warren, 2000) cikkben is megjelent, ahol a szemimartingálság kérdése felmerült, viszont megválaszolatlan maradt.
A bemutatott eredmények a témavezetőmmel, Prokaj Vilmossal közös eredmények, melyek jelenleg a publikáció fázisában vannak.
Irodalom:
Cinlar, E., Jacod, J., Protter, P., & Sharpe, M. J. (1980). Semimartingales and Markov processes. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete (54), 161-219.
Hu, Y., & Warren, J. (2000). Ray-Knight theorems related to a stochastic flow. Stochastic Process. Appl. (86), 287-305.
Prokaj, V., Rásonyi, M., & Schachermayer, W. (2011). Hiding a constant drift. Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. (47), 498-514.
On the lack of semimartingale property arXiv:2011.10347
2021. október 22., péntek, 10 óra
Conditional Kernel Mean Embeddings: Hypothesis Tests and Point EstimatesKernel methods are widely used in machine learning and related fields. In this talk two kernel based techniques are presented. In the first part of the talk resampling based hypothesis tests are introduced for the regression function of binary classification. These statistical tests are endowed with exact, finite-sample guarantees regarding the type 1 error and proved to be strongly consistent under mild statistical assumptions. The new hypothesis tests are built on the theory of conditional kernel mean embeddings, which represent conditional distributions in a Bochner space. In the second part of this talk a stochastic iterative algorithm is presented to estimate the conditional kernel mean map in a vector valued reproducing kernel Hilbert space. The stochastic gradient method is applied to minimize the expected \(L^2\) loss of which optimum is reached in the unknown conditional kernel mean function. The strong consistency of our new scheme is analyzed based on the theory of stochastic approximation.
Joint work with: Balázs Csanád Csáji, SZTAKI, ELTE
2021. október 15., péntek, 10 óra
Statistical Modelling and Experimental Design: Intersections of Theory and PracticeResearchers often find that nonlinear regression models are more applicable for modelling various biological, physical and chemical processes than are linear ones since they tend to fit the data well and since these models (and model parameters) are more scientifically meaningful. These researchers are thus often in a position of requiring optimal or near-optimal designs for a given nonlinear model. A common shortcoming of most optimal designs for nonlinear models used in practical settings, however, is that these designs typically focus only on (first-order) parameter variance or predicted variance, and thus ignore the inherent nonlinear of the assumed model function. Another shortcoming of optimal designs is that they often have only \(p\) support points, where \(p\) is the number of model parameters.
Measures of marginal curvature, first introduced in Clarke (1987) and further developed in Haines et al (2004), provide a useful means of assessing this nonlinearity. Other relevant developments are the second-order volume design criterion introduced in Hamilton and Watts (1985) and extended in O’Brien (1992, 2010), and the second-order MSE criterion developed and illustrated in Clarke and Haines (1995).
This talk examines various robust design criteria and those based on second-order (curvature) considerations. These techniques, coded in the GAUSS and SAS/IML software packages, are illustrated with several examples including one from a preclinical dose-response setting encountered in a recent consulting session.
2021. szeptember 24., péntek, 10 óra
Graph limits and the eigenvectors of random sign matricesThe theory of random matrices and graph limits are both actively studied fields in probability theory and combinatorics. In this talk, our goal is to briefly present a possible connection of these two areas, in particular, a convergence notion coming from graph limits (action convergence) and its possible application for the eigenvectors of random sign matrices. We also present our results on the empirical distribution of the eigenvectors of these non-Hermitian random matrices, in which each entry has value \(\pm 1/\sqrt n\), independently of each other. Joint work with Balázs Szegedy.
2021. április 23., péntek, 10 óra
Stochastic Optimization in Machine Learning: Inhomogeneity, Quantization and AccelerationStochastic optimization methods are widely used in machine learning and related fields, such as system identification and signal processing. In this talk, three such approaches are overviewed. (1) The first one studies pseudo-contraction based recursive algorithms, fundamental for reinforcement learning (RL), in case the underlying update operator is inhomogeneous. Such methods are motivated by learning in time-varying Markov decision processes (MDPs). A general relaxed convergence theorem is presented and demonstrated on RL methods. (2) The second part addresses the problem of estimating autoregressive systems based on binary quantized measurements, without assuming the knowledge of the noise distribution (which is typical for “textbook” solutions). A strongly consistent algorithm is suggested, assuming the threshold of the quantizer can be controlled. (3) Finally, in the third part, the effect of momentum acceleration on the least mean square (LMS) adaptive filter is analyzed, under the assumption of stationary, ergodic and mixing signals. The trade-off between the rate of convergence and the covariance of the asymptotic distribution is explored.
Joint work with: (part 1) László Monostori, SZTAKI; (part 2) Erik Weyer, University of Melbourne; (part 3) László Gerencsér, SZTAKI, and Sotirios Sabanis, University of Edinburgh
2021. február 5., péntek, 10 óra
Pricing average price optionsAsian options, especially discretely sampled arithmetic average price options (APOs) are popular financial products on commodity markets. The pricing of APOs is cumbersome even under standard (lognormal) conditions, as the sum of lognormal random variables is not lognormally distributed. This fact resulted in the development of a wide range of pricing methods in the previous decades. The goal of this presentation is to give hindsight into the moment matching method which is the most popular technique in practice.
References:
- Roncoroni, A. and Fusai, G. and Cummins, M. (2015), Handbook of multi-commodity markets and products: Structuring, trading and risk management, Chapter 18 (p. 827-877), John Wiley & Sons
- Rook, C. and Kerman, M. (2017), Approximating the Sum of Correlated Lognormals: an Implementation, Available at SSRN: 2653337
2020. december 18., péntek, 10 óra online
Convergence analysis of Gibbs sampler motivated by almost exchangeable dataMotivated by the first steps of working with almost exchangeable data in a Bayesien setting, de Finetti’s representation theorem for almost exchangeable arrays is at the core. In relation with the prior distribution, we want to sample \(\mathbf p \in [0,1]^d\) from a distribution with density proportional to \(\exp(-A^2\sum_{i<j}c_{ij}(p_i-p_j)^2)\), where \(A\) is large and \(c_{ij}\)’s are non-negative weights. We analyze the rate of convergence of a coordinate Gibbs sampler used to simulate from these measures. We show that for every fixed matrix \(C=(c_{ij})\), and large enough \(A\), mixing happens in \(\Theta_C(A^2)\) steps in a suitable Wasserstein distance.
Joint work with Andrea Ottolini.
2020. február 28., péntek, 10 óra
Numerical approximation of the Cahn--Hilliard--Cook equationWe consider the stochastic Cahn–Hilliard equation, also known as the Cahn–Hilliard–Cook equation, which describes phase separation in a binary alloy that undergoes rapid cooling. The noise, called the Cook term, is additive, Gaussian and models thermal fluctuations during the cooling process. Mathematically, the Cahn–Hilliard–Cook equation is a semilinear, parabolic, stochastic partial differential equation with a nonlinear drift term which fails to be globally Lipschitz continuous, or even one-sided Lipschitz continuous or globally monotone. The equation is discretized by a finite element method complemented by Backward Euler time stepping. In the talk we outline how to prove strong convergence of the approximation as the discretization parameters vanish.
2019. december 6., péntek, 10 óra
Cherry-tree kopulák- a vine kopulák világábanAz utóbbi időben egyre inkább tért hódit az együttes eloszlások modellezésében a kopulák alkalmazása. Előnyük abban rejlik, hogy segítségükkel a leírni kívánt valószínűségi összefüggés rendszer az egyváltozós peremeloszlásoktól függetlenül modellezhető. Több dimenzióban gyakran fordul elő, hogy az egyes valószínűségi változó párok, más és más összefüggési mintát mutatnak. Ezek modellezésére már nem alkalmasak a szokványos (1,2,3 paraméterrel rendelkező) kopulák. Ez motiválta az un. vine-kopulák bevezetését. A vine-kopulák, olyan kopulák, amelyek párkopulák és feltételes párkopulák szorzataként fejezhetők ki. Nagy előnyük, hogy sokfajta páronkénti összefüggést tudnak egyidejűleg leírni, hátrányuk pedig az, hogy túl sok paramétert használnak föl. Ennek a problémának a kiküszöbölésére vezették be a truncated- vine kopulákat, illetve a chery-tree kopulákat. Az előadásunkban ezeknek a kapcsolatáról lesz szó és rávilágítunk a bennük rejlő sokféle további lehetőségre is.
2019. november 15., péntek, 10 óra
Markov chain speedup on the cycle by a single random edge and a non-reversible modificationWe are interested in the better understanding of mixing time improvement possibilities for Markov chains on the cycle, considering the ones with uniform stationary distribution. For any reversible Markov chain, it is well known that the mixing time is \(\Omega(n^2)\).
Two natural extensions are combined, first by dropping the technical condition of reversibility, second by allowing more edges as it is also motivated by certain random graph models. However, for the latter, we are very conservative: we already stop at one extra edge.
Interestingly, a non-trivial speedup already appears, the mixing time can drop to \(\Theta(n^{3/2})\), provided that the added edge is appropriate in some sense.
2019. október 4., péntek, 10 óra
Universality at Criticality: Cusp and circular edgeE. Wigner pioneering vision on the universality of the local statistics of eigenvalues of large random matrices posed a major challenge for mathematicians. In the last decade the celebrated Wigner-Dyson statistics in the bulk spectrum as well as the Tracy-Widom statistics in the edge regime have been proven in great generality.
In this talk I report on the resolution of the last remaining universality regime that occurs at the cubic root cusps in the density where the Pearcey statistics emerge. Understanding the cusp regime also paved the way to prove edge universality for non-Hermitian matrices, a notoriously more complicated ensemble than the Hermitian one.
The talk is based on joint works with G. Cipolloni, T. Kruger and D. Schroder.
2019. szeptember 27., péntek, 10 óra
Kiefer--Wolfowitz algorithm with discontinuities in the parametersWe generalize a decreasing gain gradient-like recursive scheme proposed by Kiefer and Wolfowitz [1] for the case where the updating function function is non-continuous. In the algorithm finite differences of noisy measurements are used to estimate the gradient, as the objective function is assumed to be unknown. The underlying stochastic process is required to have a certain mixing property, which is satisfied by a large class of processes. Under appropriate assumptions we estimate the expected error of the scheme.
We are interested in maximizing a function \(U(\theta)\) which is assumed to be unknown, however we can observe another function \(J(\theta,X)\), where \(E[J(\theta, X_1)]= U(\theta)\). \(J\) can be considered as noisy measurements of \(U\). We use a gradient-like recursive algorithm and take two measurements to get a gradient-estimate as described below, however, in contrast with the existing literature, we do not assume differentiability of \(J\), even more, we do not need to assume continuity, only continuity in conditional mean.
Consider the following recursive stochastic approximation scheme of a parameter \(\theta\): \[\theta_{k+1}=\theta_k + a_k \frac{J(\theta_k+c_k,X_{k+1})-J(\theta_k-c_k,X_{k+1})}{c_k}\text{, for }k\in \{0,1,2,...\},\] starting from some initial guess \(\theta_0\). Here \(X_k\) is a stationary signal, \((a_k)\) and \((c_k)\) are sequences of positive real numbers chosen in a suitable way.
Under appropriate assumptions we are able to estimate \(E|\theta_k-\theta^{*}|\), where \(\theta_k^{*}\) is the maximizer of the objective function \(U\).
Application: Algorithmic trading strategies are often based on some economic indicators reaching a target level. A natural problem is to choose the threshold parameters optimally. The functions describing these strategies in terms of the threshold parameters and the underlying stochastic process are not continuous (they have jumps when the target level is hit) and therefore classical recursive stochastic approximation schemes cannot be used to set the parameters optimally. For more examples of stochastic approximation used in finance, see [2].
References:
[1] Jack Kiefer, Jacob Wolfowitz, et al. Stochastic estimation of the maximum of a regression function. The Annals of Mathematical Statistics, 23(3):462–466, 1952.[2] Sophie Laruelle. Analyse d’algorithmes stochastiques appliqués à la finance. PhD thesis, Université Pierre et Marie Curie-Paris VI, 2011.
2019. május 31., péntek, 10 óra
Directed polymer models and the Kardar--Parisi--Zhang equationThe Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation provides a description of random surface growth in physics, e.g. crystallization, burning front evolution, coffee ring. The solution can be represented as the free energy of the continuum directed random polymer via a Feynman-Kac type formula. First in this talk, an overview is given on the KPZ equation and universality class, directed polymer models. Then results on the stationary KPZ equation are presented based on the directed polymer approach. Further, some recent limit theorems on directed polymers are explained.
Based on joint work with A. Borodin, I. Corwin, P. Ferrari and Zs. Talyigás.
2019. május 24., péntek, 11 óra (!)
A multivariate location-scale model for clustered ordinal dataOrdinal data exists in many fields of study. Many types of data also have a hierarchical or cluster structure. Extending the methods for dichotomous outcomes to ordinal outcomes has been actively pursued. Developments have been mainly in terms of logistic and probit regression models. In particular, because the pro-portional odds assumption, which is based on the logistic regression formulation, is a common choice for analysis of ordinal data. Many of the mixed models for ordinal data are generalizations of this model and include the proportional odds assumption (or its equivalent under the probit or complementary log-log link function).
For non-proportional odds, different extensions of the proportional odds model are presented. In a somewhat different extension of the proportional odds model, the scale of the regressor effects are allowed to vary, in other words, the underlying variance of the logistic distribution can vary as a function of covariates. By bringing together extensions of the proportional odds model, for longitudinal ordinal data, a mixed ordinal location-scale model was presented which include a log-linear structure for both the within-subject and between-subject variances, allowing covariates to influence both sources of variation, and also include a subject-level random effect in the within-subject variance specification.
No multivariate model for simultaneously analysis of multiple ordinal outcomes has been introduced for clustered data in location-scale models framework so far. In this study, we extended the location-scale approach for multivariate clustered ordinal data to simultaneously model two ordinal outcomes.
2019. május 10., péntek, 12 óra
We prove under almost no conditions that a trimmed subordinator always satisfies a self-standardized central limit theorem [CLT] at zero. Our basic tools are a classic representation for subordinators and a distributional approximation result of Zaitsev (1987). Among other results, we obtain as a by product a subordinator analog of a CLT of S. Csörgő, Horváth and Mason (1986) for intermediate trimmed sums in the domain of attraction of a stable law. We then show how our methods extend to proving similar theorems for spectrally positive Lévy processes and then to general Lévy processes.
2019. május 3., péntek, 10 óra
Medián folyamat és szemimartingál-tulajdonságAz előadás célja a kutatási témám bemutatása. Kiindulópontként a témavezetőm egy korábbi cikkében (Vilmos Prokaj, Miklós Rásonyi, and Walter Schachermayer: Hiding a constant drift) megjelenő folyamat szolgált, melyet a következő paraméteres SDE ad meg: \[ dD_t(x) = -\min(D_t(x),1-D_t(x))dB_t,\quad D_0(x)=x. \] Az elmúlt időszakban ennek a folyamatnak a mediánfolyamatát vizsgáltuk, és erről szeretnénk belátni, hogy nem szemimartingál. Bemutatásra kerülnek az eddig alkalmazott módszerek: első megközelítésként a diszkretizálás és a hozzá kapcsolódó szimuláció (a medián folyamat feltételes várhatóérték-növekmény sorozataira), majd a diszkrét esetben alkalmazható időmegfordítás ötletét adaptálva a folytonos eset egy egyszerűsített változatának vizsgálata következik, az eddigi eredmények prezentálásával.
2019. április 12., péntek, 10 óra
On aggregation of Galton--Watson branching processes with regularly varying immigrationIterated limit behaviour of temporal and contemporaneous aggregations of independent copies of a strongly stationary Galton–Watson branching process with regularly varying immigration with index \(\alpha\in (0,2)\) is studied. In both cases, the limit process is the same \(\alpha\)-stable process if \(\alpha\in (0,1)\cup (1,2)\), and the same deterministic line with slope \(1\) if \(\alpha=1\).
Joint work with Mátyás Barczy and Kunosné Nedényi Fanni.
2019. március 29., péntek, 10 óra
Arbitrage-free pricing of CVA for cross-currency swap with wrong-way risk under stochastic correlation modeling frameworkA positive correlation between exposure and counterparty credit risk gives rise to the so called Wrong-Way Risk (WWR). Even after a decade of financial crisis, addressing WWR in a both sound and tractable way remains challenging [1]. Academicians have proposed arbitrage-free set-ups through copula methods but those are computationally expensive and hard to use in practice. Resampling methods are proposed by the industry but they lack in mathematical foundations. This is probably the reason why WWR is not explicitly handled in the Basel III regulatory framework inspite of its acknowledged importance. The purpose of this article is to bridge this gap between the approaches used by academics and industry. To this end, we propose a new method to handle WWR: a stochastic correlation approach in modeling WWR. All the methods proposed post financial crisis more often than not use constant correlation to model the dependency between exposure and counterparty credit risk, i.e. assumes a linear dependency, thus fails to capture the tail dependence. Using a stochastic correlation [3] we move further away from Gaussian copula [2] and can capture the tail risk. This can be achieved by modelling the stochastic correlation as a proper transformation of a diffusion process. For our study we calculate the credit valuation adjustment (CVA) by taking a cross currency swap into account which is prone to wrong way risk because of an additional FX risk other than interest rate risk and credit risk. The performance of our approach is illustrated by a thorough comparison with the case when constant correlation model is used. The results show that even supposing perfect correlation between exposure and credit risk the wrong way risk may be underestimated leading to a wrong calculation of CVA. Given the uncertainty inherent to CVA, the proposed method is believed to provide a promising way to handle WWR in a sound and tractable way.
References
[1] Damiano Brigo and Frédéric Vrins (2018) Disentangling wrong-way risk: pricing credit valuation adjustment via change of measures. European Journal of Operational Research. Volume 269, Issue 3, 1154-1164.
[2] Roger B. Nelson (2007) An introduction to Copulas. Springer Science and Business Media.
[3] Long Teng and Matthias Ehrhardt and Michael Günther (2016) Modelling stochastic correlation, Journal of Mathematics in Industry, Volume 6.2019. január 11., péntek, 10 óra
Controllability, matching ratio and graph convergenceThere is an important parameter in control theory which is closely related to the directed matching ratio of the network, as shown in the paper of Liu, Slotine and Barabási (2011). We gave proofs of two main statements of that paper on the directed matching ratio, which were based on numerical results and heuristics from statistical physics. The first result is that the directed matching ratio of directed random networks given by a fix sequence of degrees is concentrated around its mean. The second result is about the convergence of the (directed) matching ratio of a random (directed) graph sequence that converges in the local weak sense. This generalizes the result of Elek and Lippner (2010). We proved that the mean of the directed matching ratio converges to the properly defined matching ratio parameter of the limiting graph. We further showed the almost sure convergence of the matching ratios for the most widely used families of scale-free networks, which was the main motivation of Liu, Slotine and Barabási.
2018. október 12., péntek, 10 óra
Modelling corporate loansI will speak about a possible bankloan pricing model. The model consist of two parts: the market model defines the different states of the loan, estimates the transition probabilities as well as the probability of default, while the second part describes the corporate loan payoff methodology.
2018. szeptember 28., péntek, 10 óra
Asymptotic powers of selected ANOVA tests in generalized linear models and application of statistical methods in fire weather index analysisThe first part of the talk aims at tests of equality of expected values in balanced one-way ANOVA type generalized linear models based on deviance or score statistic. Since the power of these tests cannot be derived analytically, their asymptotic approximation is derived.
The second part discusses an application of selected statistical methods in an analysis of fire weather index data. Involved methods cover maximal autocorrelation factors, principal components, cluster analysis as well as extreme value analysis.
2018. június 1., péntek, 10 óra
Estimation of chronic disease progression parametersAn individual who is susceptible to a chronic disease naturally progresses from being disease free to being asymptomatic (preclinical) [1]. This progression is modeled [2] by assuming that the time spent in the disease free and the asymptomatic states are random variables following specified distributions. Early detection may occur if screening takes place before the development of symptoms. The parameters to be estimated are those regarding sensitivity of screening, the preclinical intensity (the probability of the disease to onset in given short time interval) and the time spent in the preclinical state.
To get data is hard and costly in such medical scenarios, so we built a simulator to check the proposed estimation methods, based on given distributions. We also gave confidence intervals for estimators and have analyzed the effects of misspecified distributions.
References:
[1] Zelen, M., & Feinleib, M. (1969). On the Theory of Screening for Chronic Diseases. Biometrika, 56(3), 601-614. doi: 10.2307/2334668
[2] Wu, D., Rosner, G. L. and Broemeling, L. (2005), MLE and Bayesian Inference of Age-Dependent Sensitivity and Transition Probability in Periodic Screening. Biometrics, 61: 1056–1063. doi: 10.1111/j.1541-0420.2005.00361.x2018. május 25., péntek, 10 óra
Corporate default modeling and asset correlationsWe briefly present a multi-factor Gaussian copula portfolio model for corporate default risk. We model the asset value of each company with a stochastic process, where the simulated asset values drive the possible future defaults of the companies. The model assumes three types of systematic factors driving the asset value of each company. These factors represent the state of the global economy and the economic conditions of different geographical regions and industries. The corresponding factor loadings play a key role in the model, as they capture the correlation structure between the asset returns of different companies and therefore influence the joint probabilities of default. Higher correlation between the asset returns of different companies in a portfolio increases the likelihood that multiple companies will default simultaneously, thus increasing the likelihood of extreme losses in the portfolio. Hence, accurately measuring these correlations is essential for the identification of portfolio risk.
We describe a possible methodology for measuring the correlations between asset returns of different companies, which can be used for calibrating the corresponding factor loadings. The approach relies upon single-name CDS spread data. We will also briefly analyze the structure of correlations obtained using this methodology.
2018. május 18., péntek, 10 óra
Markov chain-based cost-optimal control chartsIn an earlier paper Zempléni et al. (2004) introduced a Markov chain-based method for the economically optimal design of Shewhart-type control charts originating from Duncan’s cycle-based model (1956).
Control charts are traditionally used in industrial statistics. We introduce a new approach, which is suitable for applications in the healthcare sector. Most papers in this area use standard process control charts only for quality assurance (see e.g. Duclos et al., 2009). We adapt the Markov chain-based approach and develop a method in which not only the shift (i.e. the degradation of the patient’s health) can be random, but the sampling interval (i.e. time between visits) and the effect of the repair (i.e. treatment) too. This means that we do not use the often-present assumption of perfect repair which is usually not applicable for medical treatments. The average cost of the optimal protocol, which consists of the sampling frequency (i.e. optimal frequency of control visits) and control limits (i.e. optimal medical criteria) can be estimated by the stationary distribution of the Markov chain.
References:
Zempléni, A., Véber, M., Duarte, B. and Saraiva, P. (2004) Control Charts: A cost-optimization approach for processes with random shifts. ASMBI, 20, p.185-200.
Duncan, A. J. (1956). The Economic Design of X Charts Used to Maintain Current Control of a Process. Journal of the American Statistical Association, Vol. 51
A. Duclos, S. Touzet, P. Soardo, C. Colin, J. L. Peix, J. C. Lifant (2009) Quality monitoring in thyroid surgery using the Shewhart control chart. British Journal of Surgery, Vol. 96, Issue 22018. május 4., péntek, 10 óra
Missing and Modified Data in Nonparametric StatisticsAfter a short introduction to topics in nonparametric curve estimation, covered in my new 2018 Chapman & Hall book with the same title as the talk, three specific problems will be considered. The first one is nonparametric regression with missing at random (MAR) responses. It will be explained that a complete case approach is optimal in this case. The second problem is a nonparametric regression with missing at random (MAR) predictors. It will be explained that in general a complete case approach is inconsistent for this type of missing and a special procedure is needed for efficient estimation. The last explored problem is devoted to survival analysis, specifically to efficient estimation of a hazard rate function for truncated and censored data.
2018. április 27., péntek, 10 óra
Trends in industrial process monitoringSince the pioneering work of Walter A. Shewhart in the 1920s, process monitoring has been growing in importance and is currently acknowledged as a key activity in process operations. As process monitoring approaches its 100 years of existence, it is possible to recognize the existence of several evolutionary trends during this extensive period of time that shaped the nature of many solutions and methods proposed. Some of these trends are well-known, while the existence of others is not so well-perceived and appreciated. In this talk, an overview will be provided for several of this old and new trends, as well as examples illustrating their current progress. Among the trends addressed, are: (i) From univariate, to multivariate, to high-dimensional (“mega-variate”) systems; (ii) From stationary, to dynamic, to non-stationary processes; (iii) From detection, to diagnosis, to prognosis; (iv) From monitoring the mean, to dispersion, to correlation.
2018. április 6., péntek, 10 óra 30 perc
On tail behavior of first- and second-order Galton--Watson processes with immigrationBranching processes have been frequently used in biology, e.g., for modeling the spread of an infectious disease, for gene amplification and deamplification or for modeling telomere shortening, so their investigation is an essential topic. In this talk we will focus on describing the tail behavior of first- and second-order Galton–Watson processes with immigration in the presence of regularly varying distributions. Namely, we give sufficient conditions on the inital, offspring and immigration distributions under which a first- or second order Galton–Watson process with immigration is regularly varying.
Moreover, in the second-order case we also give conditions under which the corresponding two-type Galton–Watson process with immigration has a unique stationary distribution such that its common marginals are regularly varying as well.
Joint work with Mátyás Barczy and Gyula Pap.
2018. február 16., péntek, 10 óra
Aszimptotikus fokszámeloszlás többtípusú véletlen gráfokbanAz utóbbi időben számos olyan véletlen gráfot vizsgáltak meg, amelynek a fejlődése ún. preferential attachment dinamikát követ. A véletlen gráfokkal kapcsolatos kutatásokat a gyakorlati alkalmazásokban megjelenő nagyméretű hálózatok motiválják, mint például az internet, illetve különféle biológiai és szociális hálózatok. Az alkalmazások egy részében a gráf csúcsai és élei véges sok típusba sorolhatók. Például egy szociális hálózatban a csúcsok jelölhetnek férfiakat, illetve nőket, és az élekkel többféle kapcsolatot modellezhetünk.
Az előadás témája egy olyan diszkrét lépésekben fejlődő preferential attachment dinamikát követő gráfmodell, amelyben az élek típusait véletlenszerűen sorsoljuk ki. Feltételezzük, hogy a gráf struktúrájának fejlődése és az élek típusának kiválasztása kölcsönösen hat egymásra. Az egyszerűség kedvéért egyedül a \(2\)-féle típussal rendelkező modelleket tekintjük át, de az eredmények és a bizonyítások könnyedén általánosíthatók tetszőlegesen sok típusra. Az egyes típusokat színekkel is reprezentálhatjuk, így gondolhatunk egy olyan gráfra, amelyben az élek kék, illetve piros színűek. Az előadás során az egy valószínűségű aszimptotikus fokszámeloszlás létezését igazoljuk különféle véletlen gráfmodellekben, tehát bebizonyítjuk, hogy rögzített \(k\) és \(l\) esetén a \(k\) kék, illetve \(l\) piros színű éllel rendelkező csúcsok aránya egy valószínűséggel konvergál egy valószínűségi változóhoz, amint a lépések száma tart a végtelenhez. Ezután megmutatjuk, hogy az aszimptotikus fokszámeloszlás tagjai kielégítenek bizonyos rekurziós egyenleteket. Végül áttekintjük, hogy mi mondható a skálafüggetlenségről többtípusú véletlen gráfmodellekben.
Az eredmények Backhausz Ágnessel közösek.
2017. december 8., péntek
Control of epidemic spread on networksClassic control theory is applied to network-based epidemic models in the talk. In particular, we apply nonlinear model predictive control (NMPC) to a pairwise ODE model which we use to describe a susceptible-infectious-susceptible (SIS) epidemic on a network. The goal of control is to eradicate the disease while keeping the network well connected. Moreover we use the control of the pairwise ODE model to control the stochastic simulation. The talk gives a thorough and detailed numerical investigation of the impact and interaction of system and control parameters on the controllability of the system.
2017. december 1., péntek, 11 óra
Intermittency and almost sure properties of the solution of the stochastic heat equation with Lévy noiseWe investigate the moment asymptotics of the solution to the stochastic heat equation driven by a \((d+1)\)-dimensional Lévy space–time white noise. Unlike the case of Gaussian noise, the solution typically has no finite moments of order \(1+2/d\) or higher. Intermittency of order \(p\), that is, the exponential growth of the \(p\)th moment as time tends to infinity, is established in dimension \(d=1\) for all values \(p\in(1,3)\), and in higher dimensions for some \(p\in(1,1+2/d)\). In some special cases we also investigate the almost sure properties of the solution.
The talk is based on ongoing joint work with Carsten Chong.
2017. november 17., péntek, 10 óra
Az Országos Vízjelző Szolgálat előrejelzési módszertanaAz OVSZ rövid története megalakulásától napjainkig. Az adatgyűjtés, adatkezelés és az előrejelzés infrastruktúrájának és módszertanának fejlődése. A jelenleg használt operatív lefolyás előrejelző rendszer részletes ismertetése, a bejövő adatoktól az előrejelzési produktumok előállításáig. A hidrológiai előrejelzés, valamint a vízhőmérséklet és a jégviszonyok előrejelzésének jelenleg alkalmazott módszertanának bemutatása.
2017. november 10., péntek, 11 óra
Modelling joint behaviour of asset prices using stochastic correlationIt is a well-known fact that the correlation between prices of financial products, financial instruments plays an important role in their evaluation and pricing derivatives written on them. Using simply a constant or deterministic correlation may lead to excess risk, since market observations give evidence that the correlation is not a constant quantity. To model the joint behaviour of asset prices correctly is particularly essential when pricing derivatives dependent on those assets. Typical examples are various spread or exchange options, Quanto options or so-called rainbow options. The constant correlation is not sufficient to represent the interdependence of the underlying because from market data we have evidence that interdependence is not linear. In this work, we suppose that the individual asset prices follow one of the usual models of financial mathematics e.g., Geometric Brownian motion or a stochastic volatility model like the Hull-White or Heston models. Eventually, Variance Gamma or other subordinated Brownian motion models may also be considered within our framework. Instead of using a constant correlation we have used so called stochastic correlation i.e. time dependent and random correlation. We suggest creating the stochastic correlation process by using a Jacobi process or a tangent hyperbolic transformation of a diffusion process. Our general approach provides a stochastic correlation which is more realistic to model real world phenomena and could be used in many financial application fields. We illustrate it on an example of two stock price data. Furthermore, using our numerical and simulation methods, we compare our approach of modelling stochastic correlation either by Jacobi or tangent hyperbolic transformation of a diffusion process with the gaussian case and conclude that using constant correlation can lead to underestimated correlation risk, and hence financial loss. The reason is that the Gaussian copula model induced by constant correlation does not allow for market-consistent variability and thus fail to capture the risk. The considered case of stock prices fully justify this statement. In our study we have focused on high frequency stock price data (minute-wise traded) rather than diurnal prices, because of the well known fact that with increasing time-scales prices get closer to the Gaussian model.
2017. november 10., péntek, 10 óra
Trajectorial Models based on Operational AssumptionsWe illustrate by example the construction of one-dimensional models for option pricing based on operational and observable features of a single class of investors and a risky asset. Market models are defined based on a class of investors characterized by how they operate on financial data leading to potential portfolio re-balances. Once observable variables are selected for modeling, necessary conditions constraining these variables and resulting from the operational setup are derived. Future uncertainty is then reflected in the construction of combinatorial trajectory spaces satisfying such constraints. In the absence of probability assumptions, a minmax methodology is available to price option contracts; numerical results are presented based on worst case estimation of parameters.
2017. október 27., péntek, 10 óra
Regressziós módszer a farokparaméter becsléséreAz extrémérték-elmélet fontos témakörei közé tartozik az extrém értékeket jól jellemző farokparaméter meghatározása. Több becslés is ismert, melyik közül az egyik leggyakrabban használt a Hill-becslés, amely a \(k\) legnagyobb mintaelemen alapul. A \(k\) értékének meghatározása azonban nem egyértelmű feladat, és nagyon sok módszer létezik valamilyen szempontból optimális \(k\) választására.
Ha a farokparaméter kisebb, mint \(0,5\), akkor a legjobb becslést egy Kolmogorov–Szmirnov-távolságon alapuló módszer adja. Magasabb értékek esetén azonban észrevettük, hogy a becslés egy általánosított extrémérték-eloszláshoz hasonló eloszlást követ, illetve egy lineáris mértékű torzítást tartalmaz. Ezen észrevételek alapján kidolgoztuk a regressziós módszert, amely \(0,5<\xi<4\) között jól becsüli a farokparamétert. A módszer eredményeit több kiindulási eloszlás alapján összehasonlítva más algoritmusokkal azt állíthatjuk, hogy a \(0,5<\xi<4\) tartományon a legtöbb korábbi módszernél jobb eredményt ad.
2017. június 9., péntek
Random matrices and orthogonal polynomials: connection of eigenvalues and zerosThe history of random matrices goes back to 1920s, when John Wishart computed the density function of Gaussian sample covariance matrices. Then, in the 50s, Eugene Wigner used random hermitian matrices to approximate the spectra of atomic nuclei. It is known that under some general conditions the asymptotic behaviour of hermitian random matrices follow Wigner’s semicircle law, while random sample covariance matrices follow the so called “quarter circle law”, also known as Marchenko-Pastur law. The same asymptotic results hold for the zeros of Hermite polynomials and Laguerre polynomials. Since Forrester and Gamburd showed that the expectation of the characteristic polynomial of a random hermitian matrix coincides with the Hermite polynomial of the same degree as the dimension of the matrix, while the same for sample covariance matrices is given by the Laguerre polynomial of same degree as the dimension and some specific parameter, it is reasonable to ask if there was a deeper connection between the eigenvalues of random matrices and the zeros of orthogonal polynomials. During the talk I will mention some recent results co-authored by my advisor, György Michaletzky about the moments of the roots of these orthogonal polynomials and by further investigation of the characteristic polynomial and the empirical expectation of the eigenvalues, I will try to find the answer to the previous question.
2017. június 2., péntek
Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for the growth rate for a jump-type CIR processWe consider a jump-type Cox–Ingersoll–Ross (CIR) process \[ \mathrm{d}Y_t=(a-bY_t)\mathrm{d}t+\sigma\sqrt{Y_t}\mathrm{d}W_t +\mathrm{d}J_t, \qquad t \in [0, \infty) , \]
with a deterministic initial value \(y_0\in [0, \infty)\), where \(a\in[0,\infty)\), \(b\in(-\infty,\infty)\), \(\sigma\in(0,\infty)\), \((W_t)_{t\in[0, \infty)}\) is a 1-dimensional standard Wiener process, and \((J_t)_{t\in[0,\infty)}\) is an independent subordinator (an increasing Lévy process) with zero drift and with Lévy measure \(m\) concentrating on \((0, \infty)\) such that \(\int_0^\infty z m(\mathrm{d} z) \in [0, \infty)\), that is, \[ \mathrm{E}(\mathrm{e}^{u J_t})= \exp\left\{t\int_0^\infty(\mathrm{e}^{uz} - 1)m(\mathrm{d}z)\right\}, \qquad t \in [0, \infty), \qquad u \in (-\infty, 0]. \] We study asymptotic properties of the maximum likelihood estimator (MLE) for the growth rate \(b\) of the model based on continuous time observations \((Y_t)_{t\in[0,T]}\) as \(T \to \infty\). We distinguish three cases: subcritical, critical and supercritical cases according to \(b>0\), \(b=0\) and \(b<0\). In the subcritical case we prove weak consistency and asymptotic normality, and, under the additional moment assumption \(\int_0^1 z \log(1/z) m(\mathrm{d}z) < \infty\), strong consistency as well. In the supercritical case, we prove strong consistency and mixed normal (but non-normal) asymptotic behavior, while in the critical case, weak consistency and non-standard asymptotic behavior are described. Concerning the asymptotic behavior of the MLE in the supercritical case, we derive a stochastic representation of the limiting mixed normal distribution, where the almost sure limit of an appropriately scaled jump-type supercritical CIR process comes into play. This is a new phenomena, compared to the critical case, where a diffusion-type critical CIR process plays a role.M. Barczy, M. Ben Alaya, A. Kebaier, G. Pap (2016). Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for the growth rate for a jump-type CIR process based on continuous time observations. ArXiv: 1609.05865
2017. május 5., péntek
2017. április 28., péntek, 10 óra
Penalized Euclidean Distance RegressionWe consider a method for variable selection and prediction in linear regression problems where the number of predictors can be much larger than the number of observations. The method involves minimizing a penalized Euclidean distance, where the penalty is the geometric mean of the \(l_1\) and \(l_2\) norms of the regression coefficients. This particular formulation exhibits a grouping effect, which is useful for screening out predictors in higher or ultra-high dimensional problems. Also, an important result is a signal recovery theorem, which does not require an estimate of the noise standard deviation. Practical performances of variable selection and prediction are evaluated through simulation studies and the analysis of a dataset of mass spectrometry scans from melanoma patients, where excellent predictive performance is obtained.
This is joint work with Daniel Vasiliu (College of William and Mary) and Tanujit Dey (Cleveland Clinic).
2017. április 21., péntek, 10 óra 30 perc
Parameter estimation in Pickard modelsWe investigate general Pickard models of form \[ X_{k,\ell}= \alpha X_{k-1,\ell}+\beta X_{k,\ell-1} +\gamma X_{k-1,\ell-1} +\varepsilon_{k,\ell}, \] where the independent innovations \(\varepsilon_{k,\ell}\) have zero mean and unit variance. These spatial autoregressive models play important roles, e.g., in agriculture, digital filtering and image processing as well.
The Pickard model is stable inside a tetrahedron with vertices \((1,1,-1)\), \((1,-1,1)\), \((-1,1,1)\) and \((-1,-1,-1)\) and unstable on the boundary of this domain. We are interested in the asymptotic properties of the least squares estimator (LSE) of the parameters in the unstable case.
In the special case \(\gamma=0\) Paulauskas, 2007 determined the asymptotic behaviour of the variances of the process and Baran et al., 2007 showed that in the unstable case the LSE of \((\alpha,\beta)\) is asymptotically normal and the rate of convergence is \(n^{-3/2}\) if one of the parameters equals zero and \(n\), otherwise. In this special model \(\varrho :=|\alpha|+|\beta |\) plays the role of a stability parameter and Baran et al., 2016 verified that the LSE of \(\varrho\) is asymptotically normal with a scaling factor \(n^{5/4}\), which is in contrast to the case of the classical AR(p) model.
In the general model the asymptotic behaviour of the variances of the process and the properties of the LSE of the parameters \((\alpha,\beta,\gamma)\) depend on the location of the parameters (Baran, 2011). It turns out that the limiting distribution of the LSE is normal and the rate of convergence is \(n\)
when the parameters are in the faces or on the edges of the boundary of the domain of stability, whereas on the vertices the rate is \(n^{3/2}\) (Baran and Pap, 2012). Unstable general Pickard models have applications in image processing as they are directly related to lossless JPEG compression.References:
[Baran, 2011] Baran, S. (2011) On the variances of a spatial unit root model. Lith. Math. J. 51, 122–140.[Baran and Pap, 2012] Baran, S., Pap, G. (2012) Parameter estimation in a spatial unit root autoregressive model. J. Multivariate Anal. 107, 282–305.
[Baran et al., 2016] Baran, S., Pap, G., Sikolya, K. (2016) Testing stability in a spatial unilateral autoregressive model. Comm. Statist. Theory Methods 45, 933–949.
[Baran et al., 2007] Baran, S., Pap, G., Zuijlen, M. v. (2007) Asymptotic inference for unit roots in spatial triangular autoregression. Acta Appl. Math. 96, 17–42.
[Paulauskas, 2007] Paulauskas, V. (2007) On unit roots for spatial autoregressive models. J. Multivariate Anal. 98, 209–226.
2017. április 7., péntek, 10 óra
Vasicek-modell használata hitelkockázat méréséreAz előadás fő témája a Basel II szabályozás által előírt, hitelkockázat mérésére használt IRB formula levezetése lesz. Kiindulási alapként Vasicek portfolió modellje kerül bemutatásra, melynek során a portfolió granularitásának növelésével zárt formula adható a veszteség határeloszlására. Amennyiben marad idő, szó esik a model feltételeinek enyhítéséről, illetve a modell alkalmazhatóságáról strukturált hitelkockázati termékek (CDO-k) árazásánál.
2017. március 31., péntek, 10 óra
Short dated option pricing under rough volatilityJoint work with Philipp Harms, Antoine Jacquier and also with Christian Bayer, Peter Friz, Archil Gulishashvili and Benjamin Stemper.
Implied volatility, as a unit-less indicator of option prices, is at the very centre of quantitative finance, and understanding its precise behaviour has been the focus of pratictioners’ and academics’ for several decades. Recently Gatheral, Jaisson and Rosenbaum [11] proposed a new class of models able to remarkably accurately fit and forecast volatility time series. Following this seminal paper, Bayer, Friz and Gatheral [3] studied the pricing problem in this class of models. Specifically, Bayer, Friz and Gatheral [3] report on striking aptitudes of a natural model in this class in reproducing some distinctive features of the implied volatility which traditional volatility models so far were notoriously unable to capture. Asymptotic results in this direction [1, 8, 9, 10] arrive at similar conclusions, reinforcing the potential prowess of this class of models. In this model class, the instantaneous volatility of the price process is stochastic, but driven not by a standard Brownian motion, but by a fractional Brownian motion, hence allowing for memory (aka non Markovianity) of the volatility process. Generalising their model slightly, the stock price process satisfies the following system of stochastic differential equations: \[ \begin{aligned} dS_t&=\sigma_t S_t dB_t,&S_0&>0,&&\\ d\sigma_t&= b(\sigma_t)dt + a(\sigma_t )dW^H_t,&\sigma_0&>0,&& \end{aligned} (1) \] where the Hurst coefficient \(H\in(0, 1)\) determines the degree of smoothness (or roughness) of the continuous fractional Brownian motion W H and where the coefficients \(b(\cdot)\) and \(a(\cdot)\) are assumed to be regular enough. The two Gaussian drivers \(B\) and \(W^H\) are correlated via the Volterra representation of the latter. In this talk I report on two lines of research of this class of models from an asymptotic point of view: One line of results (obtained jointly with Philipp Harms and Antoine Jacquier) focusses on density asymptotics for this class of models, the other line of results (obtained jointly with Christian Bayer, Peter Friz, Archil Gulisashvili and Benjamin Stemper) studies the asymptotics of call prices near the money directly, when the time to maturity becomes small.
- Density asymptotics for rough stochastic volatility models: For models in the fractional volatility family, where the existence and smoothness of the density is given, we revisit small-noise expansions in the spirit of Benarous, Baudoin-Ouyang, Deuschel-Friz-Jacquier-Violante for bivariate diffusions driven by fractional Brownian motions with different Hurst exponents. We derive suitable expansions in these fractional stochastic volatility models and infer corresponding expansions for implied volatility. This sheds light (i) on the influence of the Hurst parameter in the time-decay of the smile and (ii) on the asymptotic behaviour of the tail of the smile, including higher orders.
- Extending density results within the fractional volatility family: for a fixed time \(t \geq 0\), existence and smoothness of the density of \(S_t\) or of the couple \((S_t , \sigma_t )\) is by now classical when \(H = 1/2\) (standard Brownian motion), or when the other driver \(B\) is also fractional with the same Hurst exponent. These results go back to Malliavin [14] and have been extended by many authors, including Baudoin-Hairer [2], Cass-Friz [5]. However, in this mixed class of models, no precise results exist, and we aim at extending this literature in this direction. We intend to follow two approaches: first following the classical steps of Malliavin’s proof, via Hörmander’s theorem (combining results by Nualart [16] and Baudoin-Hairer [2]), second via the theory of rough paths–albeit with possibly stronger conditions on the coefficients of the process \((\sigma_t)_{t\geq0}\). Regarding the latter, in the uncorrelated case, it is possible to build upon results Cass-Friz’s results [5]. The correlated hypoelliptic case is less ‘obvious’ and requires some more work, currently in progress.
- Call price asymptotics near the money: With Christian Bayer, Peter Friz, Archil Gulishashvili, and Benjamin Stemper, we explore an intriguingly direct novel way of addressing (uniformly with respect to the strike) the asymptotic behaviour of vanilla options as time to maturity becomes small. This general approach applies to a large class of ‘classical’ (ranging from the Black Scholes to stochastic volatility) models, and carries over to the setting of rough models (as in (1). Both in the standard and in the fractional setting, this approach somehow extends the results by Deuschel-Friz-Jacquier-Violante [6, 7] in the sense that it bypasses the need for the (so far ubiquitously prevalent) derivation of asymptotic expansions of the density of the process. That said, our approach applies in a regime where options are ‘moderately out of the money’ (with maturity-dependent strike), which interpolates between the ‘at-the-money’ and the ‘out-of-the-money’ regimes of option prices.
References
[1] Elisa Alòs, Jorge A Le on, and Josep Vives. On the short-time behavior of the implied volatility for jump-diffusion models with stochastic volatility. Finance and Stochastics, 11(4):571–589, 2007.
[2] F. Baudoin and M. Hairer. A version of Hörmander’s theorem for the fractional Brownian motion. Probability Theorey and Related Fields, 139: 373-395, 2007).
[3] C. Bayer, P. Friz and J. Gatheral. Pricing Under Rough Volatility. Forthcoming in Quantitative Finance, 2016.
[4] M. Bennedsen, A. Lunde and M. Pakkanen. Hybrid scheme for Brownian semistationary processes, arXiv:1507.03004, 2015.
[5] T. Cass and P. Friz. Densities for rough differential equations under Hörmander’s condition. Annals of Mathematics, 171(3): 2115–2141, 2010.
[6] J-D. Deuschel, P. Friz, A. Jacquier and S. Violante. Marginal density expansions for diffusions and stochastic volatility, Part I. Communications on Pure and Applied Mathematics, 67(2): 321–350, 2014.
[7] J-D. Deuschel, P. Friz, A. Jacquier and S. Violante. Marginal density expansions for diffusions and stochastic volatility, Part II. Communications on Pure and Applied Mathematics, 67 (1): 40–82, 2014.
[8] M. Fukasawa. Masaaki Fukasawa. Short-time at-the-money skew and rough fractional volatility. Quantitative Finance, 17(2):189–198, 2017.
[9] M. Fukasawa. Asymptotic analysis for stochastic volatility: martingale expansion. Finance and Stochastics, 15(4):635–654, 2011.
[10] M. Forde and H. Zhang. Asymptotics for rough stochastic volatility models. SIAM Journal on Financial Mathematics, 8(1):114–145, 2017.
[11] J. Gatheral, T. Jaisson and M. Rosenbaum. Volatility is rough. SSRN:2509457, 2014.
[12] P. Hagan, D. Kumar, A. Lesniewski and D. E. Woodward. Managing smile risk. Wilmott, 1: 84–108, 2002.
[13] S. Heston. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 6(2): 327–343, 1993.
[14] P. Malliavin. Stochastic calculus of variations and hypoelliptic operators. Proc. Int. Symp. SDE 195–263, 1976.
[15] A. Nieminen. Fractional Brownian motion and martingale-differences. Stat. Prob. Letters, 70: 1–10, 2004.
[16] D. Nualart. The Malliavin Calculus and Related Topics. Springer (2nd Edition), 2006.2017. március 24., péntek, 10 óra
Nonparametric estimation of the kernel function in the moving average representation of a stationary stable processThe talk is based on a joint research with Evgeny Spodarev and Jurgen Kampf (Ulm University).
We consider the problem of estimation of a symmetric kernel \(f: \mathbb R\rightarrow \mathbb R\) from observations of a stationary random process \[X(t) = \int_{\mathbb R} f(t-s)\Lambda(ds),\] where \(\Lambda\) is a \(S\alpha S\) random measure with independent increments and Lebesgue control measure. This class of stochastic processes includes, e.g., stable CARMA processes which are popular in econometric and financial applications. We use the smoothed version of an empirical self-normalized periodogram \[ I_{n,X}(\lambda) = \frac{\Big\vert\sum_{j=1}^{n} X(t_{j,n})e^{it_{j,n}\lambda}\Big\vert^2}{\sum_{j=1}^{n}X(t_{j,n})^2} \] of \(X\) to construct an estimator for \(f\) from observations \(X(t_{j,n})\) on a high-frequency expanding grid of points \(\big\{t_{j,n}=j\Delta_n, j=1,\dots,n\big\}\). Weak consistency of the estimator as \(n\rightarrow\infty\) is shown. We also analyze the performance of the estimates through numerical simulations.
2017. március 17., péntek, 10 óra
Többdimenziós függetlenségvizsgálatVektorváltozók megfigyelése esetén az egyik legtermészetesebb kérdés az, hogy vajon a vektorok koordinátái függetlenek-e egymástól. Bonyolult kopulamodellek illesztése előtt mindenképpen érdemes ezt a problémát is megvizsgálni. Előadásomban bemutatom a jelenleg leggyakrabban használt Genest–Quessy–Rémillard-próbát, valamint egy általunk javasolt új tesztet. A próbák erejét különböző kopula családokon és Tusnády Gábor által javasolt feltételes exponenciális modellen elvégzett szimulációkon mutatom be.
2017. február 24., péntek, 10 óra
Véletlen reguláris gráfok sajátvektoraiAz előadásban a véletlen reguláris gráfok sajátvektorainak eloszlására vonatkozó eredményekről lesz szó. A gráflimeszek elméletének fogalmaiból kiindulva, bizonyos entrópiaegyenlőtlenségeken keresztül sikerült belátnunk, hogy a véletlen reguláris gráf tetszőleges sajátvektorából egy véletlen koordinátát választva a kapott eloszlás a normális eloszláshoz tetszőlegesen közel van, ha a gráf mérete elég nagy. Az előadásban ezt az eredményt ismertetjük néhány általánosítással együtt, a bizonyítás főbb eszközeit bemutatva. Szegedy Balázzsal közös munka.
2017. január 6., péntek, 10 óra
Hogyan becsüljük meg egy valószínűségi változó várható értékét?\(n\) független, azonos eloszlású valószínűségi változó alapján meg szeretnénk becsülni a várható értéket. Talán meglepő módon, ez a klasszikus és alapvető statisztikai probléma még mindig nincs teljesen megoldva. Ebben az előadásban olyan becsléseket keresünk, amelyek hosszú farkú eloszlások esetén is szub-gausszi hibát adnak. A becsléseket kiterjesztjük nagy dimenziós terekre és regressziós problémákra.
2016. december 9., péntek
Az utódeloszlás várható érték mátrixának becslése kritikus 2-típusos Galton--Watson-folyamatokbanEgy 2-típusos Galton–Watson-folyamatot kritikusnak nevezünk, ha az utódeloszlás várható érték mátrixának spektrálsugara 1. Ebben az esetben a folyamat alkalmas átskálázására teljesül egy funkcionális határeloszlás tétel, ahol a határeloszlás elfajult egy az utódeloszlás várható érték mátrixának jobb oldali Perron-vektora által meghatározott egyenesre koncentrálódik. Ezt az észrevételt felhasználva bevezetjük a folyamat egy felbontását, majd ezen felbontás segítségével meghatározzuk a várható érték mátrix legkisebb négyzetes becslésének aszimptotikáját.
2016. december 2., péntek 11.00
Elágazó folyamatok aggregációjaTekintsük egy diszkrét idejű sztochasztikus folyamat független kópiáit. A folyamatok elemei így két indexszel rendelkeznek, egyik a kópiát, másik az időt jelenti. Azt vizsgáljuk, hogyan viselkedik az első \(N\) kópia \(n\)-edik időpontig vett, úgynevezett kétszeres részletösszege ezeknek a változóknak. Autoregressziós folyamatok esetén a fenti aggregációs problémát D. Surgailis és társszerzői már korábban vizsgálták. Mi először azzal az esettel foglalkozunk, amikor a folyamatok stacionárius elágazó folyamatok Poisson-eloszlású bevándorlással és Bernoulli utódeloszlással. Majd véletlenítjük a Bernoulli utódeloszlások paraméterét, és az így kapott véletlenített elágazó folyamatokkal is foglalkozunk. Az elágazó folyamatok természetes általánosítása a \(p\)-edrendű Galton–Watson folyamat, ahol a folyamat következő eleme nem csak az azt megelőző egy, hanem \(p\) elemtől is függhet, és mind az utódeloszlás, mind a bevándorlás általános. Mindhárom esetben az a célunk, hogy a fenti részletösszegek viselkedését leírjuk, ha a kópiák száma, azaz \(N\), és az időt jelképező \(n\) végtelenhez tart valamilyen sorrendben, vagy együttesen.
[1] M. Barczy, F. Nedényi, and G. Pap. Iterated limits for aggregation of randomized INAR(1) processes with Poisson innovations. arXiv: 1509.05149, 2015.
[2] F. Nedényi and G. Pap. Iterated scaling limits for aggregation of random coefficient AR(1) and INAR(1) processes. Statist. Probab. Lett., 118:16–23, 2016.
[3] V. Pilipauskaité and D. Surgailis. Joint temporal and contemporaneous aggregation of random-coefficient AR(1) processes. Stochastic Process. Appl., 124(2):1011–1035, 2014.2016. november 25., péntek 11.00
Egyparaméteres lineáris késleltetett sztochasztikus differenciálegyenletek aszimptotikus statisztikai vizsgálataLegyen \((X(t))_{t\in[-r,T]}\) az alábbi lineáris késleltetett sztochasztikus differenciálegyenlet erős megoldása: \[ \mathrm{d} X(t) = \vartheta \int_{[-r,0]} X(t + u) \, a(\mathrm{d} u) \, \mathrm{d} t +\mathrm{d} W(t), \] ahol \(a\) egy véges előjeles mérték a \([-r, 0]\) intervallumon. Célunk folytonos minta feltételezése mellett vizsgálni a likelihood függvény lokális aszimptotikus tulajdonságait.
Az előadás első felében egy speciális esettel fogunk foglalkozni, ahol a késleltetés egyenletes a \([-1,0]\) intervallumon, azaz amikor \(r = 1\) és \(a\) a Lebesgue-mérték. Ekkor lokális aszimptotikus normalitás (LAN) teljesül a \(\vartheta \in\bigl(-\frac{\pi^2}{2}, 0\bigr)\) paramétertartományban,lokális aszimptotikus kevert normalitás (LAMN) a \(\vartheta \in\bigl(0,\infty\bigr)\) esetben és periodikusan lokális aszimptotikus kevert normalitás (PLAMN) a \(\vartheta \in \bigl(-\infty, -\frac{\pi^2}{2}\bigr)\) tartományban. A kritikus \(-\frac{\pi^2}{2}\) és \(0\) pontokban lokális aszimptotikus kvadraticitás (LAQ) teljesül.
Ezt követően az általános modell esetén ismertetem az eredményeket, melyben már nincs esélyünk arra, hogy meghatározzuk expliciten a paramétertartományokat, ahol a megfelelő tulajdonságok teljesülnek. Azonban elegendő feltételeket tudunk adni arra, hogy mikor telesül a LAN, LAMN, PLAMN, LAQ tulajdonságok valamelyike.
A fenti eredmények következménye, hogy a paraméter maximum likelihood becslésének aszimptotikus viselkedését is le tudjuk írni.
[1] J. M. Benke, G. Pap, Asymptotic inference for a stochastic differential equation with uniformly distributed time delay, Journal of Statistical Planning and Inference 167 (2015), 182–192.
[2] J. M. Benke, G. Pap, One-parameter statistical model for linear stochastic differential equation with time delay, Statistics.
DOI:10.1080/02331888.2016.1239728.2016. november 18., péntek, 10 óra
Bayes-i konfidencia halmazok megbízhatóságaAz utóbbi években egyre elterjedtebb lett a Bayes-i módszerek alkalmazása különböző alkalmazott tudomány területeken, például pénzügyben, orvosi diagnosztikában, asztronómiában és járványkutatásban. Egy, a gyakorlati szempontból kulcsfontosságú előnye a Bayes-i statisztikának, hogy automatikusan meghatározza a módszer bizonytalanságát. A technika egyre növekvő népszerűsége mellett azonban máig nem tisztázott, hogy mekkora mértékben lehet benne megbízni. Nem megfelelően kalibrált vagy irreguláris esetekben a Bayes-i bizonytalanság analízis túlságosan magabiztos, félrevezető eredményeket produkálhat.
A cikkünkben a Bayes-i módszereken alapuló konfidencia eredmények aszimptotikus megbízhatóságát vizsgáljuk általános esetben. Megmutatjuk, hogy természetes, nem túl erős feltételek mellett a Bayes-i módszerek klasszikus (frekventista) szempontból megbízható konfidencia eredményt adnak. Az absztrakt tételt ezután specifikus modellekre alkalmazzuk, például nemparaméteres regresszióra, sűrűségfüggvénybecslésre és klasszifikációra.
Az előadás a Judith Rousseuval készített közös munkán alapul.
2016. október 28., péntek, 10 óra
Trigonometrikus sorok véletlen frekvenciákkalPaley és Zygmund klasszikus cikkek egy sorozatában (“Some random series of functions I-III”, 1931/32) megkezdték véletlen együtthatójú trigonometrikus sorok vizsgálatát, melyből mára egy számos mély eredményt tartalmazó, szép és lényegében teljes elmélet jött létre. Ugyanakkor véletlen frekvenciájú trigonometrikus soroknak nem létezik rendszeres elmélete annak ellenére, hogy ezek a sorok döntő szerepet játszanak (pl. ellenpéldák konstruálására) az analízisben, számelméletben, kombinatorikában és valószínűségszámításban. Az előadás célja véletlen frekvenciájú trigometrikus sorokra vonatkozó néhány általános eredmény igazolása, mely hozzájárulhat egy rendszeres elmélet kezdeteihez.
2016. október 14., péntek, 9 óra
Növekvő gráfsorozatok általánosított kvázirandom tulajdonságaiÁltalánosított véletlen gráfsorozatok (az Erdős–-Rényi véletlen gráf \(k\)-osztályos általánosításai) majdnem biztos tulajdonságai ismertek. Ilyenek pl. a következők: a normált adjacenciamátrixnak van k strukturális sajátértéke, a hozzájuk tartozó sajátvektorokkal a csúcsok jól klaszteresíthetők; a \(k\)-részes diszkrepancia szignifikánsan kisebb az alacsonyabb rendűeknél; a részgráfok aszimptotilusan regulárisak, a páros részgráfok pedig aszimptotilusan biregulárisak.
Arról lesz szó, hogy a sztochasztikus modelltől függetlenül a fentiekhez hasonló tulajdonságok ekvivalensek Lovász–-Sós (J. Comb. Theory B, 2008) általánosított kvázirandom gráf definíciójával, ha a csúcsok száma tart a végtelenbe a klaszterméretekre tett kiegyensúlyozottsági feltételek mellett. A \(k = 1\) esetben bő irodalma van a kvázirandom tulajdonságok ekvivalenciájának (Bollobás, Thomasson, Chung, Graham, Wilson, 1987-2008). A determinisztikus, \(k>1\) esetben az ekvivalenciákat sokkal nehezebb igazolni, néha csak implikációkat tudunk bizonyítani. Az eredmények egy része Bojan Moharral közös.
Ezek fényében egy nagy, valós életbeli gráfra úgy tekinthetünk, mint egy fejlődő sorozat pillanatára, és spektrális tulajdonságaiból (polinom időben) következtethetünk a (polinom időben nem meghatározható) minimális többrészes diszkrepanciájára, ami kézenfekvő klaszterezési kritérium. A sajátvektorokkal egyben konstrukciót kapunk az optimális \(k\)-partícióra, a sajátértékek alapján pedig az optimális \(k\)-ra. Ezzel a spektrális klaszterezés heurisztikái elméleti megalapozást nyernek.
2016. szeptember 2., péntek, 10 óra
Kétfaktoros affin diffúziók statisztikai vizsgálataOlyan Markov-folyamatokat neveznek affin folyamatoknak, amelyeknek a karakterisztikus exponense affin lineáris módon függ a determinisztikus kezdeti értéktől. Ezek a folyamatok az általánosított Ornstein–Uhlenbeck-folyamatoknak és a folytonos állapotterű elágazó folyamatoknak a közös általánosításai, és sok alkalmazási lehetőségük ismert, elsősorban a pénzügyi matematikában, például sztochasztikus volatilitás modellekben. Ebben az előadásban az úgynevezett kétfaktoros affin diffúziók drift-paramétereinek becsléseiről lesz szó, és azok aszimptotikus viselkedéséről. Persze előjön a stacionaritás és az ergodicitás kérdése is.
2016. június 10., péntek, 10 óra
Sztochasztikus koordinátoros reprezentáció és Granger-kauzalitásAz előadásomban sztochasztikus folyamatok lineáris állapottér-reprezentációjával foglalkozom, ahol a folyamat maga egy lineáris rendszer kimenetele. A probléma a következő: ha egy állapotteres rendszerben a rendszert leíró mátrixok blokkháromszög alakúak, akkor az milyen tulajdonságot mutat a kimeneti folyamatban. Bizonyos esetben egy ilyen reprezentáció ekvivalens azzal, hogy a kimeneti folyamat egyik komponense nem okozza (Granger értelemben) a másikat. Az erről szóló eredményre alapozva Granger-kauzalitással leírható egy úgynevezett koordinátoros reprezentáció, ami egy egyszerű rendszerstruktúra, de sztochasztikus esetben kevésbé kutatott. Az eredmények konstruktívak és így alkalmasak Granger-kauzalitás, illetve koordinátoros struktúra tesztelésére.
2016. május 13., péntek, 10 óra
Véletlen apollóniai hálózatok átmérőjeVéletlen apollóniai hálózatok az appolóniai körpakolás problémájából eredeztethetők. A gráf struktúrája egy \(d\)-adikus fa extra rövidítő élekkel. A fának sok közel legmélyebb ágán lehet az átlagnál több rövidítő él. Megmutatjuk, miként versengenek ezek az átmérő meghatározásához. Közös munka Komjáthy Júliával és Vágó Lajossal.
2016. április 29., péntek, 10 óra
Non-stochastic fraction-of-time approach to signal analysisWe will present an alternative approach to analyzing real signals. The Fraction-Of-Time (FOT) framework was conceived in early 2000’s by Leskow and Napolitano. Given a signal \[\{x(u): u \in [t, t+T]\},\] threshold \(\xi \in \mathbb R\) and a (Lebesgue) measure \(\mu\), the starting point of the concept is the following time average: \[F_{T,x}(t, \xi)=\frac1T \int_{t}^{t+T} \mathbf{1}_{(x(u)\leq \xi)} du.\]
With the above definition, several aspects of the FOT approach will be discussed. Firstly, the asymptotic behavior of \(F_{T,x}\) with \(T\rightarrow\infty\), which leads to a class of so-called relatively measurable functions. Next, some theoretical results will be briefly recalled, e.g. central limit theorem in the FOT context. The Fraction-Of-Time approach has indisputable advantages over the stochastic set-up. In the latter case, quite often hard-to-check assumptions are imposed on the process, like mixing conditions. We will also present applicational potential of the FOT approach in econometrics, useful in risk management (redefinition of Value-at-Risk). Finally, the recently developed change-point analysis in the FOT context will be mentioned together with simulation studies, carried out on discretely sampled signals.
2016. április 22., péntek, 10 óra
Amerikai opcióAmerikai opciók nagyon sok helyen jelennek meg a pénzügyi világban. Az előadáson bemutatom a piacon leginkább használt megközelítést, a Longstaff-Schwartz módszert.
2016. április 8., péntek, 10 óra
A Cantelli-sejtésről Kleptsyn és Kurtzmann alapjánLegyenek \(X\) és \(Y\) független standard normálisok és tekintsük az \(X+\varphi(X) Y\) változót, ahol \(\varphi\geq0\). Cantelli 1918-ban azt a sejtést fogalmazta meg, hogy ez a változó csak akkor normális eloszlású, ha \(\varphi\) konstans. Azonban ez nincs így. Kleptsyn és Kurtzmann cikke alapján ismertetem az ellenpélda konstrukcióját.
2016. április 1., péntek, 10 óra
Higher order corrections for anisotropic bootstrap percolationBootstrap percolation is a very simple model for growth from a random initial configuration on finite lattices. The model has many applications, for instance to model the spread of infections and magnets at low temperatures, to name two, but it is also interesting from a purely mathematical perspective. The model parameter has a critical value, at which the behaviour changes sharply. One interesting feature of bootstrap percolaton is a phenomenon called the “bootstrap paradox” which relates to a big discrepancy between numerical and theoretical estimates of the critical value of bootstrap percolation models.
I will discuss recent work in which we give the most accurate theoretical estimate for the critical value of any bootstrap model to date, compare it with new numerical estimates, and show how it (tentatively) resolves the paradox. This talk is based on joint work with Hugo Duminil-Copin, Aernout van Enter, and Rob Morris, and on work with Robert Fitzner.
2016. március 18., péntek, 10 óra
Makroprudenciális politika támogatása matematikai modellekkelBemutatom az MNB makroprudenciális politikájának legfontosabb területeit és az itt alkalmazott módszereket. Részletesen ismertetem a magyar Rendszerszintű pénzügyi stresszindex (REPSI) működését és továbbfejlesztésének irányait.
2016. március 11., péntek, 10 óra 30 perc
Valószínűségi modellek a szélsebesség előrejelzéséreNapjainkban a meteorológiai szolgálatok jelentős része dolgozik ensemble előrejelzésekkel, amiket úgy állítanak elő, hogy a numerikus időjárás előrejelző modelleket különböző kezdeti feltételekkel, vagy különböző paraméterezéssel futtatják. Az így kapott előrejelzés-család szóródása azonban többnyire túl kicsi és az előrejelzések nem megfelelően kalibráltak, mely hibát a statisztikai utófeldolgozás hivatott korrigálni.
Előadásomban a szélsebesség ensemble előrejelzései statisztikai kalibrálásának két általánosan elterjedt módszerét, a BMA (Bayesian Model Averaging) és az EMOS (Ensemble Model Output Statistics) technikát szeretném ismertetni, megvizsgálva ezek hatékonyságát különböző ensemble előrejelző rendszerek esetén (ALADIN-HUNEPS, University of Washington Mesoscale Ensemble, ECMWF ensemble). Mindkét módszer az előrejelzendő időjárási mennyiség sűrűségfüggvényét állítja elő, de a két technika lényegesen eltér egymástól. BMA esetén a klasszikus megközelítés a gamma eloszlások keverékével való modellezés [5], de emellett létezik egy csonkított normálisok keverékén alapuló modell is [1], ami legalább ennyire hatékony és kevésbé számításigényes. A BMA modellel szemben az EMOS módszer egyetlen eloszlást használ, melynek csupán a paraméterei függenek az ensemble tagjaitól. Szélsebesség esetén három különböző eloszlás verseng egymással: a csonkított normális [6], az általánosított extrém érték [4] és a lognormális [2], de vizsgálják ezek különféle módon való együttes alkalmazását is (pl. [2,3,4]).
Irodalom
Baran, S., Probabilistic wind speed forecasting using Bayesian model averaging with truncated normal components. Comput. Stat. Data. Anal. 75 (2014), 227-238.
Baran, S., Lerch, S., Log-normal distribution based EMOS models for probabilistic wind speed forecasting. Q. J. R. Meteorol. Soc. 141 (2015), 2289-2299.
Baran, S., Lerch, S., Mixture EMOS model for calibrating ensemble forecasts of wind speed. Environmetrics, doi:10.1002/env.2380.
Lerch, S., Thorarinsdottir, T. L. (2013) Comparison of non-homogeneous regression models for probabilistic wind speed forecasting. Tellus A 65 21206, doi:10.3402/tellusa.v65i0.21206.
Sloughter, J. M., Gneiting, T., Raftery, A. E., Probabilistic wind speed forecasting using ensembles and Bayesian model averaging. J. Amer. Stat. Assoc. 105 (2010), 25-37.
Thorarinsdottir, T. L., Gneiting, T., Probabilistic forecasts of wind speed: ensemble model output statistics by using heteroscedastic censored regression. J. Roy. Statist. Soc. Ser. A 173 (2010), 371-388.
2016. március 4., péntek, 10 óra
Partnerkockázat árazásAz előadás betekintést nyújt a partnerkockázat-kitettségből eredő “valuation adjustment”-ek közül az elméletileg is elfogadott CVA (credit valuation adjustment) árazásba, mind gyakorlati és elméleti megközelítésből.
2016. február 26., péntek, 10 óra
Irigység a darwini evolúció szemszögébőlMilyen szelekciós szituációban:
(a) sikeres az irigység?
(b) és mikor nem sikeres az irigység?2015. december 11., péntek, 10 óra
Szemi-Markov populációs folyamatok vizsgálataKurtz tétele szerint (megfelelő feltételek teljesülése esetén) Markov populációs folyamatok viselkedése nagy populáció esetén jól közelíthető egy determinisztikus közönséges differenciálegyenlet-rendszer megoldásával. Ennek általánosítását vizsgáljuk olyan folyamatokra, ahol az egyedek nem csak markovi, hanem általános átmeneteket is végezhetnek; ilyenkor a rendszer viselkedése egy determinisztikus késleltetett differenciálegyenlet-rendszer megoldásával közelíthető.
2015. december 4., péntek, 10 óra
Rekonstrukció spinrendszerekben ritka részhalmazokrólItai Benjamini kérdezte, hogy kritikus perkoláció esetén az \(n\times n\)-es négyzeten létezik-e olyan kis (\(o(n^2)\) nagyságú) részhalmaz, amely aszimptotikusan pozitív mennyiségű információt ad a bal–jobb átmenetről. Először ezt a kérdést válaszoljuk meg egy egyszerű trükk segítségével, ami a Fourier– Walsh-transzformáción alapszik. Az ún. Efron–Stein-dekompozíción keresztül a módszer általánosítható szorzatmértékekre, és így eredményeket kapunk iid változók bizonyos faktoraira, mint például a szubkritikus Ising-modellre. Pete Gáborral közös munka.
2015. november 27., péntek, 10 óra
Véletlen ponthalmazok és határalakjaikAz előadásban a következő problémát vizsgáljuk. Legyen \(X_n\) egy \(n\) független, véletlen pontból álló halmaz, amelyeket valamilyen rögzített \(\mathbb{R}^d\)-beli eloszlás szerint választunk. Tipikus példa, ha egy konvex síklemezen egyenletes eloszlást veszünk. A véletlen pontok számos aszimptotikus tulajdonságát vizsgálták már az elmúlt több, mint 100 év során. Mi a pontok által meghatározott konvex politópokat tanulmányozzuk. Bárány Imre 1999-ben megmutatta, hogy egy síkbeli konvex lemezről egyenletesen választva a pontokat, az általuk meghatározott konvex sokszögek döntő többsége egy adott konvex halmaz közelében helyezkedik el. Ezt az eredményt terjesztjük ki a síkbeli normális eloszlás esetére. Több vonatkozó problémáról is szó fog esni.
2015. október 16., péntek, 10 óra
Átlagolás a gráfon problémás csatornákonAzt az általános kérdést tanulmányozzuk, hogyan tudják egy gráf csúcsai kiszámolni a rájuk írt számok átlagát bizonyos feltételek mellett. Amennyiben a csúcsok aszinkron kommunikálnak, egy elegáns megoldás a push-sum algoritmus. Ez persze rosszabbul fog működni, ha a küldött üzenetek néha el is vesznek; ezt vizsgáljuk, hogy mennyit vesztünk.
2015. október 9., péntek, 10 óra
Véletlen szimmetrikus mátrix karakterisztikus polinomjának várható értéke és az Hermite polinom kapcsolata; az Hermite polinom gyökeinek hatványösszegeiA véletlen mátrixokkal Wigner Jenő és John Wishart kezdtek el behatóbban foglalkozni a 20. század első felében. Wishart statisztikai oldalról közelítette meg a témakört, normális eloszlású mintákból gyártott kovariancia mátrix becslésének eloszlását, számolta ki 1928-ban. Wigner a magfizikában alkalmazta a véletlen mátrixokat nehézatomok spektrumának becslésekor. 1955-ben tette közzé az ún. félkör szabály tételét, mely a tapasztalati sajátértékeloszlás konvergenciájáról és annak határeloszlásáról szól. Az előadás során ismertetni fogom a különböző véletlen mátrix osztályokat és azok jellemzőit, majd említést teszek a témában elért jelentősebb eredményekről, melyek a tapasztalati sajátérték-eloszlások határeloszlásáról, a maximális sajátérték aszimptotikájáról és a szomszédos sajátértékek közötti távolságok eloszlásáról szólnak. A fenti eredmények mind független elemű mátrixok esetében állnak fent. Szó lesz még arról, hogy mit lehet mondani abban az esetben, ha gyengítünk a függetlenségen.
2015. szeptember 23., szerda, 14:15, D 2-502 [szokatlan időpont és helyszín]
Models and model risk in bankingI will describe the main types and purposes of the quantitative models that are currently used by major international banks. Then I will examine the key model risks associated with each type of model and I will address some of the misconceptions. I will touch on the need for clear and appropriate of the communication on model-related issues within the organization. I will discuss the essential characteristics of a good modeler. All these in the context of the risk management environment post 2008.
Az előadóról. Eduardo is the Managing Director, Global Head of Risk Analytics in the Firm’s Risk Management organization. He is responsible for the development and implementation of the firm’s risk measurement models for market, credit, operational risks, stress testing (DFAST/CCAR) and economic capital; for the validation of the bank’s pricing models; and for the calculation of the model-based regulatory capital measures. Prior to Morgan Stanley, he has worked at Lehman Brothers, Goldman Sachs and Salomon Brothers in various quantitative research and risk management capacities since 1993. Eduardo’s quantitative research has contributed to the formulation of the Basel Committee’s frameworks used to assess regulatory capital on counterparty credit risk and trading activities. He is a member of various working groups at ISDA, IIF, SIFMA and TCH as well as of the Board of Directors of the International Association of Quantitative Finance (IAQF). Eduardo received PhD and MS degrees in Finance from the University of California at Berkeley, USA. He received degrees in Electrical Engineering and MBA in Finance from the Federal University of RGS, Brazil.
2015. szeptember 11., péntek, 10 óra
Factor of i.i.d. folyamatok csúcstranzitív gráfokonAz előadásban factor of i.i.d. folyamatok korrelációjának lecsengésére és a korrelációstruktúrához tartozó spektrálmérték jellemzésére vonatkozó eredményeket ismertetünk. Ezek a véleten folyamatok úgy keletkeznek, hogy egy (végtelen) csúcstranzitív gráf csúcsaira először független azonos eloszlású valószínűségi változókat teszünk, majd minden csúcsban (mint gyökérben) alkalmazzuk ugyanazt a függvényt, mely gyökeres címkézett gráfokhoz rendel egy számot invariáns módon. A factor of i.i.d. folyamatok a véletlen reguláris gráfok vizsgálata mellett ergodelméleti és számítástudományi szempontból is érdekesek lehetnek. Szegedy Balázzsal és Virág Bálinttal közös munka.
2015. június 19., péntek
Hozamgörbe-modellezésA hozamgörbe-modellezéshez kapcsolodó legfontosabb fogalmak és elterjedt módszerek felidézése, mint például a spline vagy a Nelson-Siegel Svensson modellcsalád. A Python környezetben megírt algoritmusok ismer tetése. Valós 6000 kötvényt átfogó Bloomberg adatokra való alkalmazás eredményeinek bemutatása, módszerek összehasonlítása. Konklúzió és további érdekes lehetőségek a témában.
2015. június 12., péntek, 10 óra 30 perc
Kritikus elágazó folyamatok bevándorlással változó környezetbenA kritikus, azaz amikor az utódeloszlás várható értéke 1, elágazó folyamatok bevándorlással aszimptotikus viselkedése jól ismert. Wei és Winnicki adott diffúziós approximációt, amikor az utódeloszlás szórása szigorúan pozitív. Az így kapott folyamat több oldalról is ismert, nevezik négyzetgyök, négyzetes Bessel vagy CIR folyamatnak is. Aszimptotikusan eltűnő szórású utódeloszlás esetén Ispány, Pap és vanZuijlen írta le a fluktuációs viselkedést egy Ornstein–Uhlenbeck folyamat formájában. A modellnek több általánosítása is lehetséges, egyaránt vizsgálnak elágazó folyamatokat változó vagy véletlen környezetben. Az előadásban változó környezetet fogunk tekinteni, amikor a folyamat fő paraméterei, ún. az utód és bevándorlási eloszlás várható értéke és szórása generációról generációra változik. Legnyilvánvalóbb példa erre, amikor a folyamat periodikus viselkedést mutat, mondjuk úgy, hogy a bevándorlás periodikus. Egy ilyen folyamatot közel kritikusnak ne vezünk, ha az utódeloszlás időben változó várható értéke 1-hez konvergál. Az előadásban aszimptotikus eredményeket bizonyítunk ilyen folyamatokra különböző feltételek mellett. Az eredményekből kiderül, hogy a fenti klasszikus határfolyamatok mellett további érdekes diffúziós folyamatok jelennek meg. Az előadás végén pár statisztikai probléma is említésre kerül.
2015. június 5., péntek, 10 óra
Multivariate multidistance tests for high-dimensional low sample size case-control studiesA class of multivariate tests for case-control studies with high dimensional low sample size data and with complex dependence structure, that are common in medical imaging and molecular biology, is presented. The tests can be applied when the number of variables is much larger than the number of subjects, and when the underlying population distributions are heavy-tailed or skewed. As a motivating application, we consider a casecontrol study where phase contrast cinematic cardiovascular magnetic resonance imaging has been used to compare many cardiovascular characteristics of young healthy smokers and young healthy non-smokers. The tests are based on the combination of tests based on interpoint distances. It is theoretically proved that the tests are exact, unbiased and consistent. It is shown that the tests are very powerful under normal, heavy-tailed and skewed distributions. The tests can be applied also to case-control studies with high-dimensional low sample size data from other medical imaging techniques (like computed tomography or X-ray radiography), chemometrics and microarray data (proteomics, transcriptomics).
Hivatkozások
[1] Jureckova, J, Kalina, J. Nonparametric multivariate rank tests and their unbiasedness. Bernoulli (2012), 18:229–251. DOI: 10.3150/10-BEJ326
[2] Marozzi, M. Multivariate tri-aspect non-parametric testing. Journal of Nonparametric Statistics (2007), 19:269–282. DOI: 10.1080/10485250701768537
[3] Marozzi, M. Multivariate tests based on interpoint distances with application to magnetic resonance imaging. Statistical Methods in Medical Research (2014), DOI: 10.1177/0962280214529104
[4] Marozzi, M. Multivariate multidistance tests for high-dimensional low sample size case-control studies. Statistics in Medicine (2015), DOI: 10.1002/sim.64182015. május 22., péntek, 10 óra
Egy véletlen triadikus folyamatLegyen \(H = H(n, p)\) egy véletlen 3-uniform hipergráf (amely minden csúcshármast a többitől függetlenül \(p\) valószínűséggel tartalmaz), és nézzük a következő gráffolyamatot \(H\) csúcshalmazán: Kezdetben a \(G\) gráf egy csillag, azaz egy rögzített \(v_0\) csúccsal érintkező összes élből áll. Ezek után ha van olyan \(x, y, z\) csúcshármas \(H\)-ban, hogy \(xy\) és \(yz\) már éle \(G\)-nek, akkor \(xz\)-t is hozzáadjuk a gráfhoz, majd ezt a lépést ismételgetjük, amíg csak lehetséges. Azt mondjuk, hogy a folyamat propagál, ha végül eljutunk a teljes gráfig. Ebben az előadásban megmutatjuk, hogy a propagálás küszöbvalószínűsége \(p = 1/2 \sqrt{n}\). A bizonyítás a differenciálegyenletes módszeren alapul. Az eredményünkből az is következik, hogy a véletlen kétdimenziós szimpliciális komplexus egyszeresen összefüggő, ha a lapvalószínűség legalább \(1/2 \sqrt{n}\), ami megjavítja Babson, Hoffman és Kahle felső becslését a küszöbvalószínűségre.
Yuval Peleddel és Benny Sudakovval közös munka.
2015. április 10., péntek, 10 óra
Küszöbmeghalóási modellek és a súlyozott bootstrap alkalmazása magyarországi csapadékadatok modellezéséreElőadásunk célja mind az egy-, mind a mostanában bevezetett kétdimenziós küszöbmeghaladási modellek, valamint a súlyozott likelihood bootstrap egy lehetséges alkalmazásának bemutatása, összehasonlítása az extrémérték-elemzésben már-már hagyományosnak mondható profile likelihooddal. Módszereinket 63 éves magyarországi napi csapadékadatok segítségével mutatjuk be.
2015. január 23., péntek, 10 óra
Legrövidebb utak fájának fokszámeloszlása és hálózat-mintavételezési algoritmusok torzítottságaAz előadásban különböző élsúlyozott véletlen gráf modellek egy csúcsból induló legrövidebb utak fájának fokszámeloszlását vizsgáljuk. Sok empirikus tanulmány célja, hogy meghatározza egy nagy, ismeretlen struktúrájú hálózat fokszámeloszlását az úgynevezett trace-route mintavételezési eljárást használva. A kapott rész-hálózat fokszámeloszlásából szeretnénk az eredeti hálózat fokszámeloszlására következtetni. Az alábbi hálózatokra matematikailag precízen meghatározzuk az egy csúcsból induló legrövidebb utak fájának fokszámeloszlását: teljes gráf és véletlen reguláris gráf, mindkettő \(Exp(1)^s\) i.i.d. élsúlyokkal ellátva, ahol \(s > 0\) és \(Exp(1)\) exponenciális eloszlású 1 várható értékkel, illetve a konfigurációs modell hatványlecsengésű fokszámeloszlással, és tetszőleges i.i.d. folytonos eloszlású élsúlyokkal, ha a hatványkitevő \(\tau > 3\), illetve \(2 < \tau < 3\) esetén olyan i.i.d. élsúlyokkal, melyek robbanó elágazó folyamatot produkálnak a fokszámeloszlás hossztorzított eloszlásával együtt (az exponenciális eloszlás bármely pozitív vagy negatív hatványa például ilyen). Ezeket az eredményeket felhasználva megvizsgáljuk azt a fizikusok és hálózatkutatók által vitatott jelenséget, miszerint a trace-route mintavételezés torzítja a fokszámeloszlást.
Shankar Bhamidivel, Jesse Goodmannal és Remco van der Hofstaddal közös cikk alapján.
2014. december 12., péntek, 10 óra
Párosítás, magperkoláció és lineáris irányíthatóságA hálózatok vizsgálata továbbra is nagy lendülettel fejlődő ága a komplex rendszerek kutatásának, egyik aktuális témája a hálózatok irányíthatóságának kérdése. A probléma egyik lehetséges megközelítése a rendszerek ún. strukturált rendszerként történő leírása, ami lehetővé teszi, hogy pusztán a rendszert leíró hálózat szerkezetéből következtethessünk a teljes irányíthatósághoz szükséges külső jelek számára. Modell hálózatok korábbi numerikus vizsgálata során megfigyelték, hogy a hálózatok bizonyos átlagsűrűségénél a kontrollkonfigurációk robusztussága drasztikus változáson megy át. Megmutatjuk, hogy ez az átalakulás a magperkolációnak nevezett strukturális fázisátalakulás következménye. A folyamatot analitikusan leírjuk korrelálatlan hálózatok esetében, megmutatjuk, hogy irányítatlan hálózatok esetében az átalakulás másodrendű, irányított esetben hibrid.
2014. november 28., péntek, 10 óra
Potts véletlen mezők alkalmazásaiElőadásom célja néhány térstatisztikai modell bemutatása, melyek az adatok térbeli összefüggését rejtett Potts véletlen mezőn keresztül fogják meg. Az előadásomban szó lesz egyfelől a Potts-modell néhány nevezetes felhasználásáról, másfelől pedig beszélni fogok saját munkámról, melyet magyar egészségügyi adatokon végeztem konzulensemmel, Arató Miklóssal közösen.
2014. november 21., péntek, 10 óra
A béta-hiszterézis leképezésRöviden bemutatom a hiszterézis jelenségét, illetve azt, hogy ez hogyan kapcsolódik a dinamikai rendszerekhez. Példaként a Rényi-féle béta leképezés hiszterézises változatát fogom részletesen bemutatni. A vizsgálat célja invariáns mérték (acim) konstrulása Markov és általános esetben is.
2014. október 17., péntek, 10 óra 30 perc
Ornstein-Uhlenbeck mező előrejelzésére vonatkozó optimális mintavételi terv meghatározásaÉrdekes és számos helyen alkalmazható probléma különböző kritériumok szerinti optimális mintavételi elhelyezések meghatározása bizonyos modellek esetén. Ornstein–Uhlenbeck-mező esetén vizsgáltuk a paraméterbecslés szerinti optimális mintavételt a mintapontok két speciális elrendezését te kintve. Továbbá Ornstein–Uhlenbeck-mező esetén sikerült eredményeket elérni az optimális előrejelzés témakörében is. A kapott elméleti eredményeket numerikus számításokkal támasztottuk alá.
Az eredmények Baran Sándorral és Milan Stehlíkkel közösek.
2014. szeptember 26., péntek, 10 óra
A földrajzi hozzáférés hatása a járóbeteg-ellátás igénybevételére: becslési eredmények és ökonometriai vonatkozások2010 és 2012 között húsz magyarországi kistérségben alakítottak ki európai uniós támogatással járóbeteg-szakrendelést, és ezzel több százezer emberhez került lényegesen közelebb a szakambulancia. Ezt a természetes kísérletet használjuk ki annak becslésére, hogy a földrajzi hozzáférés miként befolyásolja a járóbeteg-ellátás igénybevételét. Propensity score alapú párosításos módszerrel, valamint fix hatású (fixed effect, FE) lineáris panelregressziós és fix hatású Poisson-regressziós becsléssel is azt kapjuk, hogy a fejlesztések eredményeként – más tényezők kontrollálása után – 24-28 százalékkal emelkedett az esetszám. A gépkocsis utazási idő egy perces csökkenése például a belgyógyászatban 0,8 százalékkal, a reumatológiában 2,8 százalékkal emeli az esetszámot. Több szakmában az új kapacitások nagyságának külön hatása van az esetszámra, ami a szolgáltatók által gerjesztett keresletre (supplierinduced demand) utal. A teljes esetszám-változást fix hatású logit és fix hatású csonkolt Poissonmodell alkalmazásával felbontjuk az orvoshoz fordulási valószínűség, illetve az orvoshoz fordulási gyakoriság változására, és azt kapjuk, hogy a legtöbb szakmában az előbbi hatás a jelentősebb. Végezetül Monte Carlo szimulációval vizsgáljuk a fix hatású csonkolt Poisson-becslőfüggvény robusztusságát az eloszlási feltevések sérülésére. Ez a kérdés azért érdekes, mert míg a fix hatású Poisson-becslés köztudottan igen robusztus a mögötte levő modellfeltételek sérülésére (Wooldridge, 1999), a fix hatású csonkolt Poisson-becslés hasonló tulajdonságait elméleti vagy szimulációs eszközökkel eddig még nem vizsgálták.
Váradi Balázzsal és Varga Mártonnal közös munka.
2014. június 20., péntek, 10 óra
A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika szerepe a hidrológiábanA hidrológiában természeti idősorok tulajdonságainak és változók térbeli eloszlásának ismerete alapvető fontosságú. Az előadás során néhány speciális tulajdonságról és azok okairól és következményeiről lesz szó.
2014. május 16.
Piaci szereplők viselkedése és optimális befektetéseikDaniel Bernoulli óta szokásos feltételezni, hogy a befektetők hasznossági függvényük várható értékét próbálják maximalizálni. Erre axiomatikus elméletet épített fel Neumann János és Oskar Morgenstern. A közgazdaságtan sokat használja ezt az elméletet, és általában azt is feltételezik, hogy a befektetők kockázatkerülők (ami matematikailag a hasznossági függvény konkavitásának felel meg). Daniel Kahneman és Amos Tversky kísérletek alapján állította, hogy a tényleges befektetők másképpen viselkednek: hasznossági függvényük a negatív tartományon konvex, a pozitívon konkáv, emellett eltorzítják a tényleges valószínűségeket, ezért várható érték helyett nem lineáris Choquet-integrálokat kell tekinteni. Ezek maximalizálásához az ismert módszerek kevés támpontot nyújtanak. Ebben az előadásban bemutatok néhány, e problémával kapcsolatos eredményt.
2014. március 21.
A kriptográfia és a matematika kapcsolataA kriptográfiai (titkosírási) algoritmusok biztonságának elemzése nagyon sok matematikai terület eredményeit használja fel (pl. statisztika, információelmélet, számelmélet, algebra, algoritmuselmélet, bonyolultságelmélet, véges geometria), de a hatás kölcsönös, a kriptográfia által felvetett problémák több területen jelentős matematikai kutatásokat, eredményeket indukáltak. Rövid áttekintést adok a gyakorlati alkalmazások által inspirált néhány kiemelt kutatási területről, elsősorban a számelméleti alapú RSA titkosító algoritmus, valamint a digitális aláírások biztonságáról. Az előadásban szerepel jó néhány matematikailag is érdekes, egészen meglepő következtetés is.
2014. március 14., péntek, 10 óra
Két út a szuperdiffuzivitáshoz (II. rész)2014. március 7., péntek, 10 óra
Két út a szuperdiffuzivitáshozHosszú memóriával rendelkező mozgások esetében természetes módon fordulhat elő, hogy normális (idő négyzetgyökével arányos) nagyságrend mellett multiplikatív log-hatvány nagyságrendű szorzó faktorral kell a skálázást korrigálni. Ennek a jelenségnek mély valószínűségszámítási és fizikai okai lehetnek. A jelenség két különböző forgatókönyvét fogom bemutatni két releváns példán.
(1) Két dimenzióban, hosszú memóriájú öntaszító és véletlen közegben zajló diffúziók egy családjában mutatok szuperdiffúzív korlátokat. (Valkó Benedekkel (Madison WI) közös munka)
(2) A periodikus Lorentz-gáz ún. Boltzmann-Grad határátmenetében (nagy sűrűség és kis ütközők oly módon, hogy a tipikus szabad úthossz 1 nagyságrendű marad) mutatok centrális határeloszlás-tételt, multiplikatív log-korrekcióval.
Ez az eredmény minden dimenzióban áll. (Jens Marklof-fal (Bristol) közös munka, mely kapcsolódik Szász Domokos és Varjú Tamás korábbi eredményeihez.)2014. január 24., 10 óra
Gyenge és erős függőség az analízisbenAz előadásban néhány, az analízisben fontos szerepet játszó függvénysorozat (az \(\{nx\}\) sorozat, lánctörtkifejtéssel kapcsolatos sorozatok és hézagos sorok) valószínűségszámítási struktúráját vizsgáljuk és bizonyítunk ezekre új eredményeket.
2013. december 6., 10 óra
Átlagolt versus majdnem biztos invarianciaelvek véletlen konduktanciamodellekbenMegmutatjuk, hogy létezik olyan ergodikus véletlen konduktancia- környezet a kockarácson, aminél a folytonos idejű véletlen bolyongás teljesíti a gyenge vagy a´tlagolt invarianciaelveket, de nem teljesiti a majdnem biztos invarianciaelvet. Az eredmények közösek M. Barlow-val és K. Burdzy-val.
2013. november 22., 10 óra
Szekvenciális változásészlelés többtípusos Galton--Watson-modellekbenElőadásomban statisztikai eljárásokat mutatok többtípusos Galton–Watson modellek megváltozásának észlelésére. Az alkalmazhatóság érdekében ezen eljárások szekvenciálisak, így a modell megváltozására azonnal reagálhatunk. A szekvenciális eljárásokat az irodalomban végtelen időhorizonton szokták tekinteni, korlátlan számú megfigyelés mellett. Azonban a gyakorlatban sokszor korlátozott a megfigyelések száma, így végtelen és véges időhorizonton alkalmazható próbát is definiálok, valamint ezen próbák tulajdonságait vizsgálom.
2013. november 15., 10 óra
Detecting structural breaks in financial volatility within GARCH-type frameworkStructural breaks (abrupt changes) in volatility of financial time series can substantially deform an underlying, “static” model employed for empirical research. This translates into poorer statistical inference and negatively affects the applicational aspects of time series analysis. Therefore, providing reliable tools for detecting such volatility “change points” is challenging and very relevant task, greatly influencing the modeling and forecasting methdology. Focusing mainly upon the GARCH-type modeling framework, we will recall the celebrated ICSS algorithm proposed by Inclan and Tiao (1994), next we will show its further amendments by Sansó et al. (2004) and nonparametric alternative approach known as NPCPM model in Ross (2012). Accounting for structural breaks leads to considerable reduction of volatility persistence in the models used by various researchers in financial econometrics, which is shown in papers of e.g. Covarrubias et al. (2006), Kang et al. (2009). Rapidly growing leverage of financial markets, together with unprecedented multi-trillion monetary experiments (since 2008) pave the way for yet more turbulent regime switches in financial volatility in not-too-distant future, which makes the structural break detection still more vital and crucial both in understanding asset returns dynamics and more efficient risk management.
2013. november 8., 10 óra
Lévy-folyamatokkal hajtott véges dimenziós lineáris rendszerek identifikációjaLévy-folyamatokkal való modellezés gyakori a pénzügyi matematikában, telekommunikációban, közgazdaságtanban és a természettudományokban. Az előadáson Lévy-folyamatok növekményeivel meghajtott véges dimenziós lineáris rendszerek identifikációját tárgyaljuk. Célunk mind a rendszer, mind a meghajtó folyamat paramétereinek becslése. A probléma érdekessége abban rejlik, hogy a meghajtó zaj nem a sűrűségfüggvényével, hanem a karakterisztikus függvényével van megadva. A maximum likelihood módszer alternatívájaként az empirikus karakterisztikus függvény módszer lineáris rendszerekre való adaptálásával dolgozzuk ki a paraméterek becslését.
2013. október 25., 10 óra
Véletlen mátrixokA véletlen mátrixokkal Wigner Jenő és John Wishart kezdtek el behatóbban foglalkozni a 20. század első felében. Wishart statisztikai oldalról közelítette meg a témakört, normális eloszlású mintákból gyártott kovariancia mátrix becslésének eloszlását, számolta ki 1928-ban. Wigner a magfizikában alkalmazta a véletlen mátrixokat nehézatomok spektrumának becslésekor. 1955-ben tette közzé az ún. félkör szabály tételét, mely a tapasztalati sajátértékeloszlás konvergenciájáról és annak határeloszlásáról szól. Az előadás során ismertetni fogom a különböző véletlen mátrix osztályokat és azok jellemzőit, majd említést teszek a témában elért jelentősebb eredményekről, melyek a tapasztalati sajátérték-eloszlások határeloszlásáról, a maximális sajátérték aszimptotikájáról és a szomszédos sajátértékek közötti távolságok eloszlásáról szólnak. A fenti eredmények mind független elemű mátrixok esetében állnak fent. Szó lesz még arról, hogy mit lehet mondani abban az esetben, ha gyengítünk a függetlenségen.
2013. október 4., péntek, 10 óra 30 perc
Optimal liquidity provision in limit-order marketsIn today’s electronic markets, investors can choose to trade by either market or limit orders. Market orders guarantee immediate execution, but investors have to pay the bid-ask spread for taking liquidity out of the order book in this way. In contrast, limit orders allow to earn the spread by providing liquidity, but a posted order is only executed when a suitable counterparty arrives. We study the resulting tradeoff between profits from liquidity provision and inventory risk in a general setting, allowing for arbitrary preferences, asset price and cost dynamics, and arrival rates. In the limit for small spreads, the corresponding non-Markovian singular control problem can be solved in closed form, leading to explicit formulas for the optimal policy and welfare. (Joint work with Christoph Kühn)
2013. június 7., 10 óra
Korrelált perkolációs modellek geometriájárólLegyen \(S\) a \(d\) dimenziós első-szomszéd rács (\(\mathbb{Z}^d\) ) egy véletlen részhalmaza. Mit kell feltennünk \(S\) eloszlásáról ahhoz, hogy az \(S\) által feszített részgráf egyetlen végtelen komponensének geometriája hasonló legyen a \(d\) dimenziós rácséhoz? Előadásomban felvázolok egy olyan ‘’axiómarendszert’’, amit ha \(S\) eloszlása kielégít, akkor létezik egy olyan norma a \(d\) dimenzós téren, hogy \(S\) végtelen komponensének távoli pontjainak \(S\)-beli távolsága jól közelíthető a norma szerinti távolságukkal. Az axiómarendszert nem csak a sokat vizsgált Bernoulli perkolációs modell elégíti ki, hanem bizonyos egzotikusabb modellek is, amelyekben a korrelációk lassú lecsengésűek.
Két ilyen modellt is ismertetek az előadásomban: az egyikben \(S\) szerepét a ‘’véletlen gubanc’’ (random interlacements) komplementere játssza, a másik modellben \(S\) a zéró tömegű szabad Gauss-mező (massless Gaussian free field) szinthalmaza.
Az előadás alapjául szolgáló cikk: Alexander Drewitz, Balázs Ráth, Artem Sapozhnikov: On chemical distances and shape theorems in percolation models with long-range correlations (2012, bírálás alatt). ’
2013. május 10., 11 óra
Paraméterbecslés többtípusos Galton-Watson-folyamatokbanAz előadáson a kéttípusos Galton-Watson folyamat utódeloszlásának várható érték mátrixát becsüljük a kritikus, duplán szimmetrikus esetben, majd meg vizsgáljuk ezen becslések aszimptotikus tulajdonságait.
2013. május 10., 10 óra
Változásészlelés bizonyos diszkrét és folytonos idejű elágazó folyamatokraAz előadáson az egészértékű autoregressziós folyamatokra kidolgozott változásészlelési technikákat és bizonyítási módszereket alkalmazzuk, hogy hasonló eredményeket érjünk el a Cox–Ingersoll–Ross-folyamatra és egy Heston-típusú modellre az ergodikus esetben.
2013. május 3., 10 óra
Távolságkorreláció2013. március 22., 10 óra
Capacity regions of partly asynchronous multiple access channelsMultiple access channels (MACs) describe the situation when many senders send messages to one receiver simultaneously. MACs are most frequently studied under the assumption that the senders cannot communicate with each other but are able to maintain frame synchronism. An asynchronous MAC (AMAC) arises when this assumption fails, causing unknown delays between the starting times of the codewords of the different senders. Here a single letter characterization is given for the capacity region of discrete memoryless partly asynchronous multiple access channels (PAMACs). These are AMACs with the senders divided into groups, the senders belonging to the same group are synchronized but the groups are not synchronized with each other. The talk is based on joint work with Lóránt Farkas.
2012. december 7., 10 óra
Véletlen mátrixok és differenciáloperátorokHogyan értsünk meg egy magas dimenziós véletlen mátrixot? Az egyik lehetőség az, hogy úgy gondolunk rá, mint egy véletlen differencia-operátorra. Ahogy a dimenzió végtelenhez tart, egy differenciáloperátort kapunk. Az operátor struktúrájából sokat megtudhatunk a nagy mátrixokról is. Ez a megközelítés segített Dyson egy régi problémájának megoldásában. Hasznos volt ahhoz is, hogy konstruáljunk egy olyan véletlen operátort, amelynek a sajátértékei a sejtések szerint a Riemann zeta függvény nullhelyeinek eloszlásbeli limeszei.
2012. november 9., 10 óra
Martingálelmélet a Fourier-analízisbenA martingálelméletet, illetve a martingál Hardy-terek elméletét alkalmazom a Walsh–Fourier-analízisben. Ennek segítségével az egy– és többváltozós Walsh–Fourier-sorok konvergenciáját, illetve összegzéseit vizsgálom. Először az egyparaméterű martingálokkal, illetve az egyváltozós Walsh–Fourier-sorokkal foglalkozom, utána a többparaméterű martingálokkal és többváltozós sorokkal. Bevezetek különböző martingál Hardy-tereket, ismertetem ezek atomos felbontását. Ezek segítségével igazolom, hogy a Walsh–Fourier-sorok közepeinek maximáloperátora korlátos a \(H_p\) Hardy-térből az \(L_p\)-térbe. Innen interpolációval adódik, hogy a maximáloperátor gyengén \((1, 1)\)-típusú, ami a majdnem mindenütt való konvergenciát biztosítja.
2012. október 5., 10 óra
Local time on the exceptional set of dynamical percolation, and the Incipient Infinite ClusterIn critical planar percolation, there are almost surely no infinite clusters. However, if the configuration evolves according to a continuous time Markov chain, there could be random exceptional times when the origin is connected to infinity. A theorem of Christophe Garban, Oded Schramm and myself from 2008 is that such exceptional times do exist, and (for site percolation on the triangular lattice) their Hausdorff dimension is 31/36.
How does the cluster of the origin look like at exceptional times? In joint work with Alan Hammond and Oded Schramm, we define a notion of a typical exceptional time, and we show that, at such a time, the law of the infinite cluster is Kesten’s Incipient Infinite Cluster. On the other hand, the cluster of the origin at the very first exceptional time looks different.
2012. szeptember 28., 10 óra
Entropy and Hausdorff dimension in random growing treesWe investigate the limiting behaviour of random tree growth in preferential attachment models. The tree stems from a root, and we add vertices to the system one-by-one at random, according to a rule which depends on the degree distribution of the already existing tree. The so-called
weight function, in terms of which the rule of attachment is formulated, is such that each vertex in the tree can have at most \(K\) children. We define the concept of a certain random measure \(\mu\) on the leaves of the limiting tree, which captures a global property of the tree growth in a natural way. We prove that the Hausdorff and the packing dimension of this limiting measure is equal and constant with probability one. Moreover, the local dimension of \(\mu\) equals the Hausdorff dimension at \(\mu\)–almost every point. We give an explicit formula for the dimension, given the rule of attachment.The talk is based on joint work with Imre Péter Tóth.
2012. szeptember 21., 11 óra, D 0-820
On Sidorenko's conjectureThe Erdős-Simonovits-Sidorenko conjecture is well-known in combinatorics but it has equivalent formulations in analysis and probability theory. The shortest formulation is an integral inequality related to Mayer integrals in statistical mechanics and Feynman integrals in quantum field theory. We present new progress in the area using couplings of probability spaces and entropy calculations. Part of the talk is based on joint results with J.L. Xiang Li.
2012. június 1., 10 óra
Ciklikus várakozási rendszerekOlyan egycsatornás kiszolgálási rendszert vizsgálunk, amelyben az igények kiszolgálása a belépés időpontjában (szabad rendszer esetén) vagy ettől egy adott \(T\) ciklusidő többszöröseivel különböző időpontban (foglalt kiszolgáló eszköz vagy várakozási sor esetén) kezdődhet el. A belépő igényfolyamat Poisson, a kiszolgálási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. A rendszer működésének leírására a beágyazott Markov-lánc technikát használjuk. Meghatározzuk a stabilitás feltételét, a jelenlévő igények száma és a várakozási idő egyensúlyi eloszlását. A modell repülőgépek leszállásának folyamatát, ill. optikai jelek továbbítását írja le.
2012. május 25., 10 óra
New Family of Time Series Models and Bayesian InferenceIn data analysis, the stationary models play a major role in time series modeling. Because many time series occurring in practice have stationary characteristics. Such models are widely used in scientific investigations. But the determination of an appropriate ARMA\((p, q)\) model to represent an observed stationary time series involves a number of inter-related problems. These include the choice of \(p\) and \(q\) (order determination), and estimation of the remaining parameters, viz., the mean, the co-efficient and the white noise variance \(s^2\). The topic of order determination and estimation of parameters has attracted considerable attention in the time series literature. Various methods have been proposed and explored, but still many practitioners generally follow the Box-Jenkins approach to time series modeling. Determining the appropriate order of a process by making inference from the sample data is fairly difficult. Also the estimates are to be evaluated iteratively and the estimates may not be unique. A few workers have also attacked this problem using the Bayesian methodology. The solution proposed by these workers also suffers from the same type of drawbacks. A new family of time series models, called the Full Range Autoregressive model, is introduced which avoids the difficult problem of order determination in time series analysis. Some of the basic statistical properties of the new model are studied. Further, the Bayesian inference and forecasting as applied to the Full Range Autoregressive model are derived. The Canadian lynx data is used to compare the efficiency of the predictive power of the new model with those of some of the existing models in the time series literature.
2012. május 18., 10 óra
Non-colliding Brownian bridges and the asymmetric tacnode processWe consider non-colliding Brownian bridges starting from two points and returning to the same position. These positions are chosen such that, in the limit of large number of bridges, the two families of bridges just touch each other forming a tacnode. We obtain the limiting process at the tacnode, the (asymmetric) tacnode process. It is a determinantal point process with correlation kernel given by two parameters:
(1) the curvature’s ratio of the limit shapes of the two families of bridges,
(2) a parameter controlling the interaction on the fluctuation scale.
This generalizes the result for the symmetric tacnode process.2012. május 11., 11 óra
Súlyozott bootstrap GARCH-folyamatokraA bootstrap módszerek jól használhatók összefüggő adatok, így idősorok esetén is. Francq-Zakoian [1] eredményeit felhasználva sikerült bizonyítani, hogy GARCH\((p,q)\) folyamatok esetén a súlyozott bootstrap kvázi ML-becslés aszimptotikusan torzítatlan az eredeti paraméterekre nézve, és a becslés aszimptotikusan normális eloszlású. A súlyokról feltesszük, hogy függetlenek a folyamattól, egy valószínűséggel pozitívak, létezik első két momentumuk és gyenge köztük a korreláció. A bizonyítás fő eszközei a Taylor-sorfejtés, a stacionárius folyamatok ergodtétele, a Bernstein-tétel, a Lindeberg-féle martingálkonvergencia-tétel és a Cramér–Wold-tétel. Vizsgáltuk a tétel gyakorlati alkalmazhatóságát is, a konvergencia sebességét speciális modellekből szimulált adatokra.
[1] C.Francq, J. Zakoian: GARCH models. Wiley, 2010.2012. május 11., 10 óra
Árnyékár hatvány-hasznosság esetén2012. május 4., 10 óra
A kémiai reakciókinetika sztochasztikus differenciálegyenlet-modelljei: a kémiai Langevin-egyenlet, és hogy miért kellene egy új modellBevezetésként sztochaszikus folyamatok néhány rendszerbiológiai alkalmazását fogom bemutatni. Az előadásom fő célja a (bio)kémiai reakciókinetika standard Ito-típusú sztochasztikus differenciálegyenletének (szde), a kémiai Langevin-egyenletnek (kLe) vizsgálata lesz. A martingálprobléma és az szdek gyenge megoldásai közötti kapcsolatra támaszkodva a kLe-t különböző, egymással gyengén ekvivalens alakokban írhatjuk fel. Tanulmányozom majd, legalább hány független Wiener-folyamat szükséges egy ilyen ekvivalens alakhoz, és megvilágítom a mögöttes geometriai jelentést. Levezetek egy másik alakot is, amely az egyenlet numerikus szimulációjának felgyorsítására alkalmas. Megmutatom azt is, hogy az első és második momentumok szempontjából a kLe tűnik a kémiai reakciókinetika legjobb Ito-típusú szde-modelljének. Demonstrálni fogom, hogy az eredeti formájában a kLe egyes változói pozitív valószínűséggel negatívvá válhatnak. Ez azt a kérdést veti fel, vane a kémiai reakciókinetikának egyszerű és természetes, a nemnegativitást megőrző, folytonos értékű sztochasztikus modellje.
2012. március 30.
Egy háromszögekből épített véletlengráf-modellAz előadásban egy véletlenül fejlődő gráfmodellt mutatunk be, melyben minden lépésben három csúcs lép kölcsönhatásba, és e csúcsok kiválasztásakor nem csupán az éppen érvényes fokszámokat vesszük figyelmbe, hanem azt is, hogy az egyes csoportok hányszor szerepeltek együtt korábban. Ezzel skálafüggetlen tulajdonságú modellt kapunk, melyben a csúcsok fokának (hány különböző csúccsal léptek kölcsönhatásba) és súlyának (összesen hányszor vettek részt kölcsönhatásban) együttes eloszlását is megvizsgáljuk. Az eredmények Móri Tamással közösek.
2012. március 23.
Boosting kernel estimatesKernel density estimation can be used to implement an estimate of Bayes’ rule for classification. Kernel functions can also be used in nonparametric regression, and all three topics (classification, regression and clustering) are examples of “statistical learning”. Boosting — an iterative procedure for improving estimates — is increasingly widely used due to its impressive perfromance. In this talk we give an introduction to these kernel methods as well as to boosting. We show how to implement boosting in each case, and illustrate (both theoretically, and by example) the effect on bias and variance.
2012. március 2., 10 óra
A Jacobs-deLeeuw-Glicksberg felbontási tétel és ergodelméleti alkalmazásai2012. február 24., 10 óra
Some statistical issues in the construction of annual fire risk maps based on fire frequency dataWild fires cause extensive loss of property and life and inflict heavy damage on ecosystems, therefore they are a relevant public policy issue, particularly in Portugal. Policy responses for local and global fire management depend heavily on the proper understanding of the fire extend as well as its spatio-temporal variation across any given study area, and annual fire risk maps are important decision support tools in devising such policy responses. Annual fire risk maps are constructed based on annual satellite imagery data, which in its raw state, consist of the the location of observed fire scars in space and their sizes. Ideally such data set can be assumed to be generated by a spatio-temporal marked point process, discrete in time, continuous in space, and fire risk maps can be produced by estimating the predictive distribution of the intensity function of the point process. However, there are formidable computational issues associated with this approach. Often, the raw data is discretized in space over a pre-chosen grid of desired resolution, transforming it into fire frequency data consisting of fire inter arrival times. Fire frequency studies then focus on estimating the distribution of two related random variables, namely the time since last fire in a spatial unit, ie the survival function and the time between two consecutive fires, ie. mortality. The hazard function which is the rate of mortality conditional on survival until time t ties together the survival and the mortality distributions and therefore is the target quantity for modeling fire frequency data and producing annual fire risk maps. In this talk, we look at existing practices in producing these maps and we suggest improvements in the existing methods by incorporating the strong spatial dependence that exists between the grid cells which reduce bias as well as variance in estimated risks.
2012. február 17., 10 óra
Egy eldönthetetlenségi probléma ritka gráfok limeszérőlGiven a set \(B\) of finite rooted graphs and a radius \(r\) as input, we prove that it is undecidable to determine whether there exists a sequence \((G_i )\) of finite bounded degree graphs such that the rooted \(r\) radius neighbourhood of a random node of \(G_i\) is isomorphic to a rooted graph in \(B\) with probability tending to 1. Our proof implies a similar result for the case where the sequence \((G_i )\) is replaced by a unimodular random graph.
2012. január 6., 10 óra
Nem-paraméteres bayesi adaptációs technikák aszimptotikus viselkedésének vizsgálataAz utóbbi években egyre népszerűbb lett bayesi technikák alkalmazása magasabb dimenziós és nem-paraméteres statisztikai problémák megoldásában. A két legnépszerűbb adaptációs bayesi technika az empirikus és a hierarchikus bayesi módszer. Az előadásom során főleg az empirikus bayesi technikával fogok foglalkozni, de kitérek a két módszer közötti párhuzamra és teljesítményük összehasonlítására is. Nem-paraméteres bayesi statisztikában az a poszteriori eloszlás aszimptotikus viselkedése nagyban függ az a priori eloszlás megválasztásától. Látszólagosan jó a priori eloszlás is inkonzisztens vagy szub-optimális a poszteriori eloszláshoz vezethet. A probléma egyik lehetséges megoldása adaptációs technikák használata. Adott a priori eloszlás helyett egy család a priori eloszlással dolgozunk, melyet egy hiperparaméter ír le, és hagyjuk, hogy a mintánk kiválassza az optimálist. Az empirikus bayesi módszerben a hiperparamétert frekventista módszerekkel becsüljük, míg a hierarchikus bayesi eljárásban egy hiper a prior eloszlással látjuk el a hiperparamétert. A kutatásunk során a Gauss fehér zaj modellel foglalkoztunk bővebben és tanulmányoztuk az empirikus bayesi eljárás aszimptotikus viselkedését rajta. Továbbá inverze problémák adaptációját és adaptív bayesi intervallumbecslést vizsgáltuk.
Témavezetők: Aad van der Vaart és Harry van Zanten2011. december 2., 11 óra
Inhomogén diffúziós folyamatok és hidakAz inhomogén diffúziós folyamatok és a belőlük származtatott hidak fontos szerepet játszanak a sztochasztikában és alkalmazásaiban. Többdimenziós lineáris inhomogén diffúziós folyamatokra vonatkozó hidakat konstruálunk, megadva ezek integrál- és ún. anticipatív reprezentációját. Egydimenzióban, speciális esetként, külön tárgyaljuk az ún. Ornstein Uhlenbeck típusú hidakat. Alkalmazásként megvizsgáljuk, hogy mikor esik egybe egy ún. általános \(\alpha\)-Wiener híd eloszlása valamely Ornstein-Uhlenbeck típusú híd eloszlásával. Az eredmények Peter Kernnel közösek.
2011. november 19.
Bootstrap módszerek és alkalmazásuk összefüggő adatsorokraAz újra-mintavételezési módszerek (resampling methods) viszonylag rövid múltra tekintenek vissza. A bootstrap is ezek közé tartozik, Efron dolgozta ki az első, úgynevezett i.i.d. bootstrap módszert 1979-ben, amit felfoghatunk a jackknife kiterjesztéseként. Azóta a számítógépek teljesítményének rohamos növekedése következtében a módszer népszerűsége is jelentősen megnőtt, és sokoldalú alkalmazási lehetőségei mellett megmutatkoztak az ilyen jellegű módszerek korlátai is: összefüggő adatok esetén az i.i.d bootstrap becslések számos lényeges esetben nem lesznek konzisztensek. A módszer megfelelő módosításával —az újra-mintavételezést egyes adatelemek helyett adatblokkokkal elvégezve— ezt a nehézséget le lehet küzdeni. Ilyen, ún. blokk bootstrap módszerek esetén a fő kérdés, hogy milyen blokkméretet használjunk. Az optimális blokkméret több tényezőtől is függ: az adatgeneráló folyamattól, a bennünket érdeklő statisztikától és attól is, hogy mi a bootstrapelés végső célja (pl. variancia vagy eloszlás becslése). A módszereket észak németországi szélsebességi adatokra alkalmaztuk. Az egydimenziós elemzések mellett kétdimenziós illesztést is végeztünk: kiválasztottuk a legjobban illeszkedő kopula-modellt.
2011. november 18., 10 óra 30 perc
Sztochasztikus volatilitásmodellek statisztikai vizsgálataA pénzügyi matematika egy klasszikus-modern fejezete a pénzügyi idősorok elemzése. Ismeretes, hogy olyan jelenségek, mint pl. a ”volatility clustering” (hosszabb ideig tartó alacsony volatilitású periódusokat rövid, nagyobb volatilitású szakaszok követnek) a hagyományos lineáris modellekkel nem írhatók le. Az egyik legismertebb, nem-lineáris sztochasztikus volatilitás modell az ún. ARCH ill. GARCH modell. A GARCH folyamatok paraméterbecslésének irodalma szinte kizárólagosan az off-line kvázi maximum-likelihood becslés módszerével foglalkozik. Azonban ismeretes, hogy a pénzügyi idősorok gyakran adatban gazdagok, ezért egy rekurzív (online) becslési módszer használata alkalmasabb és kevésbé költséges lenne. A sztochasztikus approximáció elméletének eszköztárát felhasználva rekurzív algoritmust adunk a GARCH folyamat paramétereinek becslésére, és igazoljuk a konstruált algoritmus 1 valószínűségű és \(L^q\) konvergenciáját. Az előzőekhez kapcsolódóan felmerül a kérdés, hogy erősebb feltételek mellett erősebb állításokat fogalmazzunk meg a loglikelihood függvényre. Kidolgozunk egy olyan karakterizációs tételt, melynek lényege az, hogy a maximumlikelihood becslés hibája két részre bontható: a főtag egy martingál, a hibatag pedig \(1/N\) nagyságrendű korlátos momentumokkal, ahol \(N\) a mintaelemszám.
2011. szeptember 23., 10 óra
Hosszú memóriájú bolyongások és Kipnis-Varadhan-tételkörHosszú memóriájú bolyongások különböző modelljeire bizonyítunk centrális határeloszlás-tételt verzatilis elméleti eszközök révén.
2011. június 24.
Bootstrap módszerek alkalmazása kopulák illeszkedésvizsgálatában2011. június 10.
Árnyékárak használata portfólióoptimalizálási feladatokban2011. május 27.
Fagyott perkoláció, erdőtűzmodellek a végtelen bináris fán2011. május 6.
Generating hierarchial scale-free graphs from fractalsMotivated by the hierarchial network model of E. Ravasz, A.-L. Barabási and T. Vicsek, we introduce deterministic scale-free networks derived from a graph directed self-similar fractal \(\Lambda\). With rigorous mathematical results we verify that our model captures some of the most important features of many real networks: the scale-free and the high clustering properties. We also prove that the diameter is the logarithm of the size of the system. Using our (deterministic) fractal \(\Lambda\) we generate random graph sequence sharing similar properties.
2011. április 15.
Biztosítási kockázatok becslése hiányos adatok esetén2011. április 1.
Néhány reverzibilis és nem-reverzibilis Markov-lánc keverési idejének összehasonlítása2011. március 25.
Hogyan lehetne igazolni a Lévy-transzformáció ergodicitását?2011. március 11.
Kémiai reakciórendszerek egyensúlyi pontjainak létezéséről és egyértelműségéről2010. november 26.
Többdimenziós szintmeghaladási modellek a gyakorlatban: modellek és becslés2010. október 8.
Aszimptotikus eredmények instabil egész értékű idősorokraAz utóbbi években több száz cikk jelent meg egész értékű idősorokkal kapcsolatban, amelyek akkor lépnek fel ha diszkrét jelenségek, pl. darab- vagy esetszámok időbeni fejlődését szeretnénk leírni. Bár számos párhuzam húzható a valós értékű idősorokkal, mind az eredményekben, mind az alkalmazott módszerekben nem várt, korábban nem ismert jelenségek lépnek fel. Az előadásban egész értékű autoregressziós folyamatok (ún. INAR modellek) aszimptotikájával foglalkozunk, elsősorban az ún. instabil vagy kritikus esetben. Egy INAR modellt akkor nevezünk instabilnak, ha karakterisztikus polinomjának az 1 gyöke. Az előadásban ismertetendő fő eredmény azt mondja ki, hogy egy ilyen folyamat alkalmas normálás mellett úgy viselkedik, mint egy négyzetes Bessel-folyamat. Tárgyaljuk az INAR modellek kapcsolatát a heteroszkedasztikus idősor modellekkel, illetve az elágazó folyamatokkal. Végül néhány paraméterbecsléssel kapcsolatos kérdésről esik szó, nyílt problémák felvetésével együtt. Az eredmények nagy részben Barczy Mátyással és Pap Gyulával közösek.
Iconic One Theme, powered by Wintersmith